（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1, 3} ) \quad D. ( {1, 4} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [1, +\infty) ) \quad B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( [1, 3) )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad C. ( a|c| > b|c| ) \quad D. ( a + c > b + c )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
设 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^2 )， ( c = \log_{0.3} 2 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系是（ ） A. ( c < b < a ) \quad B. ( b < c < a ) \quad C. ( a < b < c ) \quad D. ( c < a < b )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是（ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, 3) ) \quad D. ( (3, 4) )
若正实数 ( x, y ) 满足 ( 2x + y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ） A. ( 3 + 2\sqrt{2} ) \quad B. ( 4\sqrt{2} ) \quad C. 8 \quad D. 9
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x \geq 0 ) 时， ( f(x) = 2^x - 1 )，则不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-\infty, 0) ) C. ( (-1, 0) ) \quad D. ( (-1, 1) )
为了得到函数 ( y = \log_2 (2x - 1) ) 的图象，只需将函数 ( y = \log_2 x ) 的图象（ ） A. 向右平移1个单位长度 \quad B. 向左平移1个单位长度 C. 向右平移 (\frac{1}{2}) 个单位长度 \quad D. 向左平移 (\frac{1}{2}) 个单位长度
已知函数 ( f(x) = ax^2 - 2x + 1 ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( [\frac{1}{2}, +\infty) ) \quad B. ( (0, \frac{1}{2}] ) \quad C. ( [\frac{1}{2}, +\infty) ) \quad D. ( (0, \frac{1}{2}] )
设函数 ( f(x) = |\lg x| )，若 ( 0 < a < b )，且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是（ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad C. ( (3, +\infty) ) \quad D. ( [3, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
计算： ( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + (\pi - 3)^0 - \log_3 \sqrt{3} = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
已知函数 ( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} )，则 ( f(\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{3}) + ... + f(\frac{1}{2025}) + f(2) + f(3) + ... + f(2025) = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ \log_a x, & x > 2 \end{cases} ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知集合 ( A = { x | \frac{x-4}{x+2} \leq 0 } )， ( B = { x | x^2 - 4x + 3 \geq 0 } )。 （1）求 ( A \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | m - 1 \leq x \leq 2m + 1 } )，且 ( (A \cap B) \subseteq C )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (3 - x) + \log_a (x + 1) ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）若函数 ( f(x) ) 的最大值为2，求 ( a ) 的值。
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^x + a} ) 是奇函数。 （1）求 ( a, b ) 的值； （2）用定义证明： ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上是减函数； （3）解关于 ( t ) 的不等式： ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - 1) < 0 )。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 （1）将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数（利润 = 总收益 - 总成本）； （2）当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少元？
（12分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) （ ( a \neq 0 ) ）满足 ( f(0) = 1 )，且不等式 ( f(x) \leq 2x + 1 ) 的解集为 ( [1, 3] )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - mx ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设 ( h(x) = \sqrt{f(x)} )，求函数 ( h(x) ) 在区间 ( [0, 3] ) 上的值域。
（12分）已知函数 ( f(x) = \ln(e^{2x} + 1) - x )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性并证明； （2）求证： ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上是增函数； （3）若不等式 ( f(2x - a) \geq f(-x^2 + 2x + 3) ) 对任意 ( x \in [0, 1] ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高中必修一数学综合测试卷（参考答案）
选择题
A \quad 2. B \quad 3. B \quad 4. D \quad 5. C \quad 6. A \quad 7. B \quad 8. C \quad 9. C \quad 10. C \quad 11. B \quad 12. C
填空题13. ( \frac{11}{3} ) \quad 14. 1 \quad 15. 0 \quad 16. ( (1, \frac{5}{2}] )
解答题17. （1）解：由 ( \frac{x-4}{x+2} \leq 0 ) 得 ( -2 < x \leq 4 )， ∴ ( A = (-2, 4] )。 由 ( x^2 - 4x + 3 \geq 0 ) 得 ( x \leq 1 ) 或 ( x \geq 3 )， ∴ ( B = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) )。 ∴ ( A \cap B = (-2, 1] \cup [3, 4] )。 （2）∵ ( (A \cap B) \subseteq C )，且 ( C = [m-1, 2m+1] )。 当 ( C = \varnothing ) 时， ( m-1 > 2m+1 )，解得 ( m < -2 )。 当 ( C \neq \varnothing ) 时，则 ( \begin{cases} m-1 \leq 2m+1 \ m-1 \leq -2 \ 2m+1 \geq 4 \end{cases} ) 或 ( \begin{cases} m-1 \leq 2m+1 \ m-1 \leq 1 \ 2m+1 \geq 3 \end{cases} )。 解第一个不等式组得 ( m \geq \frac{3}{2} )；解第二个不等式组得 ( 1 \leq m \leq 3 )。 综上， ( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, -2) \cup [1, 3] )。
（1）解：由 ( \begin{cases} 3-x > 0 \ x+1 > 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x < 3 )， ∴ 定义域为 ( (-1, 3) )。 （2）( f(x) = \log_a [(3-x)(x+1)] = \loga (-x^2 + 2x + 3) )。 令 ( t = -x^2 + 2x + 3 = -(x-1)^2 + 4 )， ∵ ( x \in (-1, 3) )， ∴ ( t \in (0, 4] )。 若 ( a > 1 )，则当 ( t = 4 ) 时， ( f(x){max} = \log_a 4 = 2 )， ∴ ( a = 2 )。 若 ( 0 < a < 1 )，则当 ( t ) 趋近于0时， ( f(x) ) 趋近于正无穷大，无最大值。 综上， ( a = 2 )。
（1）解：∵ ( f(x) ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数， ∴ ( f(0) = 0 )，即 ( \frac{b-1}{1+a} = 0 )， ∴ ( b = 1 )。 又 ( f(-1) = -f(1) )，即 ( \frac{1-2^{-1}}{2^{-1}+a} = -\frac{1-2}{2+a} )，解得 ( a = 1 )。 经检验，当 ( a=1, b=1 ) 时， ( f(x) = \frac{1-2^x}{1+2^x} ) 是奇函数。 （2）证明：任取 ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{1-2^{x_1}}{1+2^{x_1}} - \frac{1-2^{x_2}}{1+2^{x_2}} = \frac{2(2^{x_2} - 2^{x_1})}{(1+2^{x_1})(1+2^{x_2})} )。 ∵ ( x_1 < x_2 )， ∴ ( 2^{x_2} - 2^{x_1} > 0 )，又分母 > 0， ∴ ( f(x_1) - f(x_2) > 0 )，即 ( f(x_1) > f(x_2) )。 ∴ ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上是减函数。 （3）解：∵ ( f(x) ) 是奇函数且在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减， 不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - 1) < 0 ) 等价于 ( f(t^2 - 2t) < -f(2t^2 - 1) = f(1 - 2t^2) )。 ∴ ( t^2 - 2t > 1 - 2t^2 )，即 ( 3t^2 - 2t - 1 > 0 )，解得 ( t < -\frac{1}{3} ) 或 ( t > 1 )。
解：（1）总成本函数为 ( C(x) = 20000 + 100x )。 当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时， ( f(x) = R(x) - C(x) = (400x - \frac{1}{2}x^2) - (20000 + 100x) = -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000 )。 当 ( x > 400 ) 时， ( f(x) = 80000 - (20000 + 100x) = 60000 - 100x )。 ∴ ( f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} )。 （2）当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时， ( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 300)^2 + 25000 )， 当 ( x = 300 ) 时， ( f(x)_{max} = 25000 )。 当 ( x > 400 ) 时， ( f(x) = 60000 - 100x < 60000 - 40000 = 20000 < 25000 )。 综上，当月产量为300台时，月利润最大,最大月利润为25000元。
解：（1）∵ ( f(0) = 1 )， ∴ ( c = 1 )。 ∵ ( f(x) \leq 2x + 1 ) 的解集为 ( [1, 3] )， ∴ 方程 ( ax^2 + (b-2)x + 1 - 1 = 0 ) 即 ( ax^2 + (b-2)x = 0 ) 的两根为1和3，且 ( a > 0 )。 ∴ ( \begin{cases} 1+3 = -\frac{b-2}{a} \ 1 \times 3 = 0 \end{cases} ) 由韦