2025年高一数学（北师大版）上学期期末测试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意事项：

1. 本试卷参考北师大版高中数学必修第一册、必修第二册电子课本内容命题。
2. 答题前，请将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置。
3. 答案需写在答题卡上,写在试卷上无效。

单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. （集合与常用逻辑用语）已知全集 ( U = {x \in \mathbb{N}^* | x \leq 6} )，集合 ( A = {1, 3, 5} )，( B = {2, 3, 4} )，则 ( \complement_U (A \cup B) = )（ ） A. ( {6} ) \quad B. ( {0, 6} ) \quad C. ( {1, 2, 4, 5, 6} ) \quad D. ( {0, 1, 2, 4, 5, 6} )

2. （函数概念与性质）下列函数中，既是奇函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递减的是（ ） A. ( y = x^{-1} ) \quad B. ( y = x^2 ) \quad C. ( y = 2^x ) \quad D. ( y = x + \frac{1}{x} )

3. （指数与对数函数）设 ( a = \log_2 0.3 )，( b = 2^{0.3} )，( c = 0.3^{0.2} )，则 ( a, b, c ) 的大小关系是（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( a < c < b ) \quad C. ( b < a < c ) \quad D. ( c < a < b )

4. （统计）某校高一年级有学生400人，现用分层抽样的方法从全体高一学生中抽取一个容量为50的样本，已知女生有180人，则样本中女生的人数为（ ） A. 20 \quad B. 22 \quad C. 23 \quad D. 25

5. （概率）从 ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 中任取两个不同的数，则取出的两个数之和为偶数的概率为（ ） A. ( \frac{1}{5} ) \quad B. ( \frac{2}{5} ) \quad C. ( \frac{3}{5} ) \quad D. ( \frac{4}{5} )

6. （三角函数）已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(1, -2) )，则 ( \sin \alpha + 2\cos \alpha = )（ ） A. ( -\frac{4\sqrt{5}}{5} ) \quad B. ( 0 ) \quad C. ( \frac{2\sqrt{5}}{5} ) \quad D. ( \frac{4\sqrt{5}}{5} )

7. （函数应用）某品牌手机销售单价（元）与月销售量（部）的关系如下表所示：

   单价（元）	6000	5500	5000	4500
   销售量（部）	30	40	50	60

   根据表中数据，经验回归方程为 ( \hat{y} = -0.02x + \hat{a} )，当销售单价定为4300元时，预测月销售量约为（ ） A. 63部 \quad B. 64部 \quad C. 65部 \quad D. 66部

8. （任意角与弧度制）已知扇形的圆心角为 ( 2 ) 弧度，弧长为 ( 6 \text{cm} )，则扇形的面积为（ ） A. ( 3 \text{cm}^2 ) \quad B. ( 6 \text{cm}^2 ) \quad C. ( 9 \text{cm}^2 ) \quad D. ( 12 \text{cm}^2 )

多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, \, x^2 + x + 1 > 0 ) B. 命题“( \exists x \in \mathbb{R}, \, x^2 + 1 < 0 )”的否定是“( \forall x \in \mathbb{R}, \, x^2 + 1 \geq 0 )” C. “( x > 2 )”是“( \frac{1}{x} < \frac{1}{2} )”的充分不必要条件 D. 若 ( a > b > 0 )，则 ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} )

10. 关于函数 ( f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) )，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 ( \pi ) B. 图象关于点 ( (\frac{\pi}{6}, 0) ) 对称 C. 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上单调递增 D. 图象可由 ( y = \sin 2x ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位得到

11. 已知正实数 ( a, b ) 满足 ( a + b = 1 )，则下列结论正确的是（ ） A. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 ) B. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2} ) C. ( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} ) D. ( 2^a + 2^b \geq 2\sqrt{2} )

填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）

12. 函数 ( f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2} ) 的定义域为__。
13. 已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = )__。
14. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x > 0 \ 3^x, & x \leq 0 \end{cases} )，则 ( f(f(\frac{1}{4})) = )__。

解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15. （13分）已知集合 ( A = {x | -2 \leq x \leq 5} )，( B = {x | m+1 \leq x \leq 2m-1} ). (1) 若 ( m = 4 )，求 ( A \cap B )，( A \cup B )； (2) 若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。

16. （15分）某中学为了解学生每周体育锻炼时间（单位：小时），从高一和高二年级共2000名学生中，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查,数据如下：

    • 高一年级：样本量40，样本平均数 ( \bar{x}_1 = 6.5 )，样本方差 ( s_1^2 = 4 )。
    • 高二年级：样本量60，样本平均数 ( \bar{x}_2 = 7.2 )，样本方差 ( s_2^2 = 3.5 )。 (1) 估计高一年级的学生人数； (2) 估计这2000名学生每周体育锻炼时间的平均数 ( \bar{x} ) 和方差 ( s^2 )。

17. （15分）已知函数 ( f(x) = \log_a (2x-1) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）的图象过点 ( (1, 0) )。 (1) 求实数 ( a ) 的值及函数 ( f(x) ) 的定义域； (2) 判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由； (3) 解关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) < 1 )。

18. （17分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。 (1) 求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； (2) 当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域； (3) 若将函数 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \varphi )（( \varphi > 0 )）个单位后，得到函数 ( g(x) ) 的图象关于 ( y ) 轴对称，求 ( \varphi ) 的最小值。

19. （17分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^{x+1} + a} ) 是奇函数。 (1) 求实数 ( a, b ) 的值； (2) 判断函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性，并用定义证明； (3) 若对任意的 ( t \in [1, 2] )，不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。

2025年高一数学（北师大版）上学期期末测试卷 参考答案

单项选择题

A \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. C \quad 5. B \quad 6. B \quad 7. D \quad 8. C

多项选择题9. ABD \quad 10. AB \quad 11. ABCD

填空题12. ( [-1, 2) \cup (2, +\infty) ) \quad 13. 3 \quad 14. ( \frac{1}{9} )

解答题15.解： (1) 当 ( m = 4 ) 时，( B = {x | 5 \leq x \leq 7} )。 ( A \cap B = {5} )， ( A \cup B = {x | -2 \leq x \leq 7} )。……（6分） (2) 当 ( B = \varnothing ) 时，( m+1 > 2m-1 )，解得 ( m < 2 )。 当 ( B \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} m+1 \leq 2m-1 \ m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases} )，解得 ( 2 \leq m \leq 3 )。 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, 3] )。……（13分）

16. 解： (1) 高一年级学生人数估计为 ( 2000 \times \frac{40}{100} = 800 )（人）。……（4分） (2) 总体平均数估计值： ( \bar{x} = \frac{40}{100} \times 6.5 + \frac{60}{100} \times 7.2 = 2.6 + 4.32 = 6.92 )（小时）。……（8分） 总体方差估计值： ( s^2 = \frac{40}{100}[4 + (6.5-6.92)^2] + \frac{60}{100}[3.5 + (7.2-6.92)^2] ) ( = 0.4 \times (4 + 0.1764) + 0.6 \times (3.5 + 0.0784) ) ( = 0.4 \times 4.1764 + 0.6 \times 3.5784 ) ( = 1.67056 + 2.14704 = 3.8176 )。……（15分）

17. 解： (1) 由 ( f(1) = \log_a (2 \times 1 - 1) = \log_a 1 = 0 ) 恒成立，故 ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) 即可。 定义域需满足 ( 2x - 1 > 0 )，即 ( x > \frac{1}{2} )，定义域为 ( (\frac{1}{2}, +\infty) )。……（4分） (2) 定义域 ( (\frac{1}{2}, +\infty) ) 不关于原点对称，故函数 ( f(x) ) 既不是奇函数也不是偶函数。……（7分） (3) ( f(x) < 1 ) 即 ( \log_a (2x-1) < 1 = \log_a a )。 当 ( a > 1 ) 时，( 0 < 2x-1 < a )，解得 ( \frac{1}{2} < x < \frac{a+1}{2} )。 当 ( 0 < a < 1 ) 时，( 2x-1 > a )，解得 ( x > \frac{a+1}{2} )。 综上，当 ( a > 1 ) 时，解集为 ( (\frac{1}{2}, \frac{a+1}{2}) )；当 ( 0 < a < 1 ) 时，解集为 ( (\frac{a+1}{2}, +\infty) )。……（13分）

18. 解： (1) ( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )。 最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。 令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} )， 解得 ( -\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{12} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} )。 单调递增区间为 ( [-\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{12} + k\pi], \, k \in \mathbb{Z} )。……（6分） (2) 当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in [0, \pi] )。 ( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \in [0, 1] )，故 ( f(x) \in [0, 2] )。……（11分） (3) ( g(x) = 2\sin[2(x - \varphi) + \frac{\pi}{3}] = 2\sin(2x - 2\varphi + \frac{\pi}{3}) )。 由题意，( g(x) ) 为偶函数，则 ( -2\varphi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} )。 解得 ( \varphi = -\frac{\pi}{12} - \frac{k\pi}{2} )。 令 ( k = -1 )，得 ( \varphi = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} > 0 ) 为最小值。……（17分）

19. 解： (1) 由 ( f(x) ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，得 ( f(0) = 0 )，即 ( \frac{b-1}{2+a} = 0 )，解得 ( b = 1 )。 又 ( f(-1) = -f(1) )，即 ( \frac{1 - 2^{-1}}{2^{0} + a} = -\frac{1-2}{2^{2}+a} )，解得 ( a = 2 )。 经检验，当 ( a = 2, b = 1 ) 时，( f(x) = \frac{1-2^x}{2^{x+1}+2} ) 为奇函数。……（5分） (2) ( f(x) = \frac{1-2^x}{2(2^x+1)} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2^x+1} )。 函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} ) 且 ( x_1 < x_2 )， ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{2^{x_1}+1} - \frac{1}{2^{x_2}+1} = \frac{2^{x_2} - 2^{x_1}}{(2^{x_1}+1)(2^{x_2}+1)} )。