（满分：150分，时间：120分钟）
单项选择题（共8题，每题5分，共40分）
某高中数学网课平台的后台数据显示，在特定时间段内，在线学习人数 ( N(t) ) 随时间 ( t )（小时）的变化规律可近似用函数 ( N(t) = 1000 \cdot e^{-0.2t} + 500 )（( t \geq 0 )）描述，请问当 ( t = 5 ) 时，在线人数的瞬时变化率约为（单位：人/小时） A. -74 B. -135 C. -37 D. -100
平台计划从“函数与导数”、“立体几何”、“概率统计”三个核心模块中，至少选择一个模块推出新的专题课程，不同的选择方案共有 A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种
小明在网课平台学习“三角函数图像与性质”后，尝试求解函数 ( y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{4}) ) 的对称轴方程，以下是他写的四个选项，其中正确的是 A. ( x = \frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{12} ) ( ( k \in \mathbb{Z} ) ) B. ( x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} ) ( ( k \in \mathbb{Z} ) ) C. ( x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{12} ) ( ( k \in \mathbb{Z} ) ) D. ( x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} ) ( ( k \in \mathbb{Z} ) )
平台通过算法分析发现，学生连续观看视频的时长 ( X )（分钟）服从正态分布 ( N(40, 25) )，则 ( P(30 < X < 55) ) 约为 （参考数据：( P(\mu - \sigma < X \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827; P(\mu - 2\sigma < X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 )） A. 0.8186 B. 0.84 C. 0.86 D. 0.88
在“空间向量与立体几何”的直播课中，老师讲解了一道关于三棱锥体积的题目，已知三棱锥 ( O-ABC ) 中，( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} ) 两两垂直且 ( |\overrightarrow{OA}|=1, |\overrightarrow{OB}|=2, |\overrightarrow{OC}|=3 )，则该三棱锥的体积为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
平台为“数列”章节设计了闯关答题模式，已知关卡得分构成一个等差数列 ( {a_n} )，若 ( a_2 + a_8 = 20 )，则前9关的总得分 ( S_9 ) 等于 A. 90 B. 80 C. 100 D. 110
网课平台讨论区关于一道解析几何题目的讨论中，有学生提问：已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 )，则过点 ( P(1, 2) ) 且被圆 ( C ) 截得的弦长为 ( 2\sqrt{3} ) 的直线有几条？ A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无法确定
平台统计了某专题课程的学习人数与平均成绩，并尝试用线性回归模型分析其关系，已知回归直线方程为 ( \hat{y} = 1.5x + 75 )，( x ) 表示学习时长（十小时），( \hat{y} ) 表示预测平均分，若某学生学习了40小时，则他的预测平均分为 A. 81分 B. 85分 C. 90分 D. 135分
多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
关于高中数学网课平台常用的几种功能，下列描述中涉及的概率与统计知识正确的是 A. “智能推送错题”功能，其背后可能运用了分类与分步计数原理。 B. “学习报告生成”中，计算学生的正确率属于古典概型。 C. “知识点掌握度雷达图”是一种数据可视化方法，与统计图表有关。 D. “预测本次考试成绩”可能使用了回归分析或相关性分析。
在平台的“圆锥曲线”专题课程中，讲解了以下结论，其中正确的有 A. 方程 ( \frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1 ) ( ( mn \neq 0 ) ) 可能表示椭圆、双曲线或不存在。 B. 过椭圆一个焦点作长轴垂线，与椭圆交于两点，这两点间的距离叫做椭圆的通径。 C. 双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ) 的渐近线方程是 ( y = \pm \frac{a}{b}x )。 D. 抛物线 ( y^2 = 2px ) ( ( p > 0 ) ) 的焦点到其准线的距离为 ( p )。
设函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5) )，则下列结论正确的是 A. ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )。 B. ( f(x) ) 有最小值 ( \ln 1 = 0 )。 C. ( f(x) ) 的图像关于直线 ( x = 2 ) 对称。 D. ( f(x) ) 在 ( (2, +\infty) ) 上单调递增。
平台在“复数”章节的课后测试中，出了以下题目，下列说法正确的有 A. 若复数 ( z ) 满足 ( |z| = 1 )，则 ( z = \pm 1 ) 或 ( z = \pm i )。 B. 复数 ( z = \frac{2i}{1-i} ) 的虚部为 1。 C. 在复平面内，表示复数 ( z = \cos 70^\circ + i\sin 70^\circ ) 的点在单位圆上。 D. 复数 ( z = a + bi ) ( ( a, b \in \mathbb{R} ) ) 为纯虚数的充要条件是 ( a = 0 )。
填空题（共4题，每题5分，共20分）
平台进行课程满意度调研，采用5分制，已知某课程得分的平均分为4.5，方差为0.25，则得分不低于4分的比例至少为__。（用百分数表示,根据切比雪夫不等式估计）
学生在“导数应用”课程中学习到：函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) 在区间 ( [-1, 4] ) 上的最大值为__。
网课平台的一道“排列组合”例题：用0, 1, 2, 3, 4五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有__个。
在“平面向量”直播课中，老师讲解了一道经典题：在 ( \triangle ABC ) 中，( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 )，( |\overrightarrow{AB}| = 3 )，( |\overrightarrow{AC}| = 4 )，点 ( P ) 满足 ( \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} ) ( ( \lambda \in \mathbb{R} ) )，且 ( \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 )，则实数 ( \lambda ) 的值为__。
解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）某高中数学网课平台为研究“课前预习时长”与“课堂互动次数”的关系,随机抽取了10名学生的数据如下：
| 预习时长 x (分钟) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 互动次数 y (次) | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | 9 |
(1) 请计算预习时长与互动次数的相关系数 ( r )（结果保留三位小数）； (2) 根据计算结果，判断两者之间的线性相关程度,并说明该结论对网课平台优化教学设计的启示。
（12分）在平台的“立体几何”专栏中，有如下一道例题： 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( PA = 2\sqrt{3} )，点 ( E, F ) 分别为棱 ( PC, AD ) 的中点。 (1) 求证：( EF // ) 平面 ( PAB )； (2) 求二面角 ( E-BD-A ) 的余弦值。
（12分）平台“数列专题”的课后作业中有这样一题： 已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且满足 ( a1 = 1 )，( S{n+1} = 4an + 2 )。 (1) 求证：数列 ( {a{n+1} - 2a_n} ) 是等比数列； (2) 求数列 ( {a_n} ) 的通项公式。
（12分）网课平台计划推出一项“知识点盲盒”抽奖活动以提升学习趣味性，规则如下：每个盲盒包含“代数”、“几何”、“概率”三类知识点卡片中的一种，且抽到这三类的概率依次为 ( \frac{1}{2} ), ( \frac{1}{3} ), ( \frac{1}{6} )，若集齐三类卡片（不计顺序），即可兑换大奖。 (1) 小明购买了5个盲盒，求他恰好集齐三类卡片的概率； (2) 记 ( X ) 为小明集齐三类卡片所需购买的盲盒数，求 ( X ) 的数学期望 ( E(X) )。
（12分）在“圆锥曲线综合”的直播课中，老师讲解了一道与网课平台图标相关的题目： 已知平台图标的一部分曲线 ( C ) 是中心在原点的椭圆，其焦点在 ( x ) 轴上，且该椭圆经过点 ( M(2, \frac{\sqrt{6}}{2}) )，离心率为 ( \frac{1}{2} )。 (1) 求椭圆 ( C ) 的标准方程； (2) 若直线 ( l: y = kx + \sqrt{3} ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，问是否存在实数 ( k )，使得以 ( AB ) 为直径的圆经过坐标原点 ( O )？若存在，求出 ( k ) 的值；若不存在,请说明理由。
（12分）平台“函数与导数综合应用”模块的压轴题如下： 已知函数 ( f(x) = e^x - ax^2 ) ( ( a \in \mathbb{R} ) )。 (1) 讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； (2) 若 ( f(x) ) 有两个不同的零点 ( x_1, x_2 )，且 ( x_1 < x_2 )。 (i) 求实数 ( a ) 的取值范围； (ii) 求证：( x_1 + x_2 > 2 )。
（试卷结束）
2025年高中数学网课平台学习效果评估测试卷（参考答案）
单项选择题
A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A
多项选择题9. CD 10. ABD 11. ACD 12. BC
填空题13. 75% 14. 18 15. 60 16. ( \frac{3}{8} )
解答题17. (1) ( r \approx 0.985 )，表明预习时长与互动次数之间存在极强的正线性相关关系。 (2) 平台可鼓励学生进行课前预习，以提升课堂互动参与度。 18. (1) 取 ( PB ) 中点 ( G )，连接 ( AG, FG )，可证四边形 ( AEFG ) 为平行四边形，从而得证。 (2) 建立空间直角坐标系，求得平面 ( EBD ) 与平面 ( ABD ) 的法向量，计算得二面角余弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{4} )。 19. (1) 由 ( S_{n+1}=4a_n+2 )，( Sn=4a{n-1}+2 ) ( ( n \geq 2 ) ) 相减得 ( a_{n+1}=4an-4a{n-1} )，变形得 ( a_{n+1}-2a_n=2(an-2a{n-1}) )，首项 ( a_2-2a1=3 )，故是公比为2的等比数列。 (2) 由(1)得 ( a{n+1}-2a_n=3 \cdot 2^{n-1} )，构造等比数列求得 ( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2^{n} ) ( ( n \geq 2 ) )，验证 ( n=1 ) 也符合，故 ( a_n = (3-n) \cdot 2^{n-1} )。 20. (1) ( P = \frac{C_3^1 \left[ \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right)^5 - C_2^1 \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)^5 - C_2^1 \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{6} \right)^5 - C2^1 \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right)^5 + 3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^5 + 3 \times \left( \frac{1}{3} \right)^5 + 3 \times \left( \frac{1}{6} \right)^5 \right]}{?} ) (详细计算略)，或使用容斥原理与多项式系数计算。 (2) 这是一个“赠券收集问题”，( E(X) = 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + 2 + \frac{3}{2} + 6 = 11 )？(标准解法：( E(X) = \sum{i=1}^{3} \frac{1}{pi} - \sum{i<j} \frac{1}{p_i+p_j} + \frac{1}{p_1+p_2+p_3} )，( p_1, p_2, p_3 ) 为概率，计算得 ( E(X) = \frac{73}{10} = 7.3 ))。 21. (1) 设椭圆方程为 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ) ( ( a>b>0 ) )，由 ( e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2} ) 及 ( a^2=b^2+c^2 )，点 ( M ) 代入得 ( a^2=8, b^2=6 )，故方程为 ( \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{6} = 1 )。 (2) 联立直线与椭圆，设 ( A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) )，由 ( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 ) 得 ( x_1x_2+y_1y2=0 )，利用韦达定理可得关于 ( k ) 的方程，解得 ( k = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} )，经检验判别式大于0，故存在。 22. (1) ( f'(x)=e^x-2ax )。 当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 ) 在 ( (0,+\infty) ) 恒成立，在 ( (-\infty, 0) ) 上可能负，需具体讨论，更严谨地：令 ( g(x)=f'(x) )，( g'(x)=e^x-2a )。 若 ( a \leq 0 )，则 ( g'(x)>0 )，( f'(x) ) 单调递增，且 ( \lim{x \to -\infty} f'(x)=0^+ )? (( e^x \to 0 )，( -2ax \to +\infty ) (若 ( a<0 ))，故 ( f'(x) \to +\infty )，存在唯一零点 ( x_0 )，( f(x) ) 在 ( (-\infty, x_0) )