选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6，则cosA的值为（ ） A. (\frac{1}{8}) \quad B. (\frac{3}{8}) \quad C. (\frac{1}{4}) \quad D. (\frac{5}{8})
不等式((x-2)(x+3) > 0)的解集是（ ） A. ({x | x<-3 \text{或} x>2}) \quad B. ({x | -3<x<2}) \quad C. ({x | x<-2 \text{或} x>3}) \quad D. ({x | -2<x<3})
已知数列({a_n})满足(a1=1)，(a{n+1}=a_n+3)，则(a_5)的值为（ ） A. 10 \quad B. 13 \quad C. 16 \quad D. 19
若实数(x, y)满足约束条件(\begin{cases} x+y \ge 2 \ x-y \le 1 \ y \ge 0 \end{cases})，则(z=2x+y)的最小值为（ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 5
已知等比数列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，则公比(q=)（ ） A. 2 \quad B. 4 \quad C. 8 \quad D. 16
在△ABC中，若(\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7)，则角C的大小为（ ） A. (\frac{\pi}{3}) \quad B. (\frac{2\pi}{3}) \quad C. (\frac{\pi}{6}) \quad D. (\frac{5\pi}{6})
已知(x > 0)，则(x + \frac{4}{x})的最小值为（ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 5
设(S_n)为等差数列({a_n})的前n项和，若(S5=10)，(S{10}=40)，则(S_{15}=)（ ） A. 70 \quad B. 80 \quad C. 90 \quad D. 100
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
在△ABC中，若(A=60^\circ)，(b=4)，(c=\sqrt{3})，则边a的长为__。
不等式组(\begin{cases} x^2 - 4x + 3 < 0 \ x+1 > 0 \end{cases})的解集为__。
数列({a_n})的通项公式为(an = \frac{1}{n(n+1)})，则其前10项和(S{10} =)__。
若正数(x, y)满足(x+2y=1)，则(\frac{1}{x} + \frac{2}{y})的最小值为__。
解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（8分）在△ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且满足(a\cos B = b\cos A)。 （1）判断△ABC的形状； （2）若(a=3, c=5)，求b的值。
（10分）已知关于x的不等式(ax^2 + bx + 2 > 0)的解集为({x | -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}})。 （1）求a, b的值； （2）解不等式(2x^2 + bx + a < 0)。
（10分）已知等差数列({a_n})的前n项和为(S_n)，且(a_3=7)，(S_9=81)。 （1）求数列({a_n})的通项公式； （2）若数列({b_n})满足(b_n = \frac{1}{an a{n+1}})，求数列({b_n})的前n项和(T_n)。
（12分）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，已知池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元。 （1）设池底一边长为x米（x>0），另一边长为y米，写出y关于x的函数关系式； （2）如何设计水池的尺寸能使总造价最低？并求出最低总造价。
2025年高中数学必修五综合测试卷参考答案
选择题
B \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. B \quad 5. A \quad 6. B \quad 7. C \quad 8. C
填空题9. (\sqrt{13}) \quad 10. ((1, 3)) \quad 11. (\frac{10}{11}) \quad 12. (9)
解答题13. （1）解：由正弦定理，(a=2R\sin A, b=2R\sin B)，代入已知等式得： (2R\sin A \cos B = 2R\sin B \cos A)，即(\sin A \cos B - \sin B \cos A = 0)， 亦即(\sin(A-B)=0)。 因为A, B为三角形内角，A=B)。 故△ABC为等腰三角形。 （2）由（1）知A=B，故a=b=3。
（1）解：由题意知，方程(ax^2+bx+2=0)的两根为(x_1=-\frac{1}{2}, x_2=\frac{1}{3})，且a<0。 由韦达定理得： (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{b}{a})，即(-\frac{1}{6} = -\frac{b}{a}) \quad ① ((-\frac{1}{2}) \times \frac{1}{3} = \frac{2}{a})，即(-\frac{1}{6} = \frac{2}{a}) \quad ② 由②得：(a=-12)，代入①得：(-\frac{1}{6} = -\frac{b}{-12})，解得(b=-2)。 （2）将a=-12, b=-2代入不等式(2x^2+bx+a<0)，得(2x^2 - 2x -12 < 0)，即(x^2 - x - 6 < 0)。 解得：(-2 < x < 3)。 故不等式解集为({x | -2 < x < 3})。
（1）解：设等差数列({a_n})的公差为d。 由已知得： (\begin{cases} a_3 = a_1 + 2d = 7 \ S_9 = 9a_1 + \frac{9 \times 8}{2}d = 81 \end{cases})，即(\begin{cases} a_1 + 2d = 7 \ a_1 + 4d = 9 \end{cases}) 解得：(a_1=5, d=1)。 a_n = 5 + (n-1) \times 1 = n+4)。 （2）由（1）知(an = n+4)，则(a{n+1} = n+5)。 (b_n = \frac{1}{(n+4)(n+5)} = \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5})。 T_n = b_1 + b_2 + ... + b_n = (\frac{1}{5}-\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6}-\frac{1}{7}) + ... + (\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}) = \frac{1}{5} - \frac{1}{n+5} = \frac{n}{5(n+5)})。
（1）解：由容积公式得：(3xy = 4800)，y = \frac{1600}{x} \ (x>0))。 （2）设总造价为W元。 池底面积为xy，造价为(150xy)元。 池壁面积为(2(3x+3y)=6(x+y))，造价为(120 \times 6(x+y)=720(x+y))元。 所以总造价： (W = 150xy + 720(x+y) = 150 \times 1600 + 720(x + \frac{1600}{x}) = 240000 + 720(x + \frac{1600}{x}))。 因为(x > 0)，x + \frac{1600}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1600}{x}} = 80)，当且仅当(x = \frac{1600}{x})，即(x=40)时取等号。 y = \frac{1600}{40} = 40)。 所以当池底为边长40米的正方形时，总造价最低。 最低总造价(W_{min} = 240000 + 720 \times 80 = 240000 + 57600 = 297600)元。