（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
若二次根式 $\sqrt{x-2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（ ） A. $x > 2$ B. $x \geq 2$ C. $x < 2$ D. $x \leq 2$
下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1, 2, 3 B. 2, 3, 4 C. 6, 8, 10 D. 5, 5, 8
在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\angle A + \angle C = 220^\circ$，则 $\angle B$ 的度数为（ ） A. $70^\circ$ B. $80^\circ$ C. $90^\circ$ D. $100^\circ$
一次函数 $y = -3x + 2$ 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩均为9.2环，方差如下表所示： | 选手 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 方差 | 0.56 | 0.60 | 0.50 | 0.45 | 则这四人中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角
将直线 $y = 2x - 3$ 向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为（ ） A. $y = 2x$ B. $y = 2x - 6$ C. $y = 2x + 3$ D. $y = 5x - 3$
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D, E, F$ 分别是 $AB, BC, CA$ 的中点，若 $AC = 10$，$BC = 14$，则四边形 $ADEF$ 的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 17 D. 14
$x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. -4 D. -2
如图，点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 上一动点，$PE \perp BC$ 于点 $E$，$PF \perp CD$ 于点 $F$，连接 $EF$，给出下列结论：① $AP = EF$；② $AP \perp EF$；③ $\triangle APD$ 一定是等腰三角形；④ $\angle PFE = \angle BAP$，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
计算：$(\sqrt{5})^2 + \sqrt{16} = $__。
若正比例函数 $y = (k-1)x$ 的图象经过第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是__。
某校八年级（1）班第一小组6名同学的体育中考跳绳成绩如下（单位：个/分钟）：178，185，176，180，182，185，这组数据的众数是__。
若菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积是__。
已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 5x + k = 0$ 的一个根是2，则另一个根是__。
在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = k_1x + b_1$ 与直线 $l_2: y = k_2x + b_2$ 相交于点 $P(1, 3)$，请写出一个满足条件的 $l_1$ 与 $l_2$ 的解析式，使得 $k_1 > k_2 > 0$：$l_1$：__，$l_2$：__。（写出一个即可）
解答题（本大题共9小题，共80分）
（8分）计算： （1）$\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}$ （2）$(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})$
（8分）解方程： （1）$x^2 - 6x + 5 = 0$ （用配方法） （2）$2x(x-3) = x - 3$
（8分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB=CD$，$AD=BC$。 （1）求证：$\triangle ABC \cong \triangle CDA$； （2）若 $AC \perp BD$，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形。
（8分）已知一次函数的图象经过点 $A(2, 4)$ 和点 $B(-1, -5)$。 （1）求这个一次函数的解析式； （2）求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
（10分）某中学为了解学生每周的课外阅读时间，采用随机抽样的方式，对本校部分学生进行了问卷调查，调查结果分为A（0~2小时）、B（2~4小时）、C（4~6小时）、D（6小时以上）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图。 （注：图中数据为百分比） （1）本次共调查了__名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生,请估计每周课外阅读时间在4小时以上的学生人数。
（10分）某商店以每件40元的价格购进一批商品，若按每件50元销售，每天可卖出100件，市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量就减少5件。 （1）若销售单价定为每件55元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售利润达到1375元，且尽可能让利顾客,销售单价应定为多少元？
（10分）【问题探究】如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $BC$ 上一点（不与 $B, C$ 重合），连接 $AE$，过点 $E$ 作 $EF \perp AE$ 交正方形外角 $\angle DCG$ 的平分线于点 $F$。 （1）求证：$AE = EF$。 【拓展延伸】（2）如图2，在（1）的条件下，连接 $AF$ 交边 $CD$ 于点 $H$，连接 $EH$，求证：$BE + DH = EH$。
（12分）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1: y = -\frac{1}{2}x + 3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、$B$，将直线 $l_1$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到直线 $l_2$，交 $y$ 轴于点 $C$。 （1）求直线 $l_2$ 的函数解析式； （2）点 $D$ 是直线 $l_2$ 上的一个动点，当 $\triangle ABD$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的一半时，求点 $D$ 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，直接写出使 $PD + PB$ 为最小的点 $P$ 的坐标。
2024-2025学年度第二学期八年级数学期末测试卷（参考答案）
选择题
B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. A 9. B 10. C （第10题解析：易证四边形PECF为矩形，得PC=EF，再证△ABP≌△CBP，得AP=CP，故①AP=EF正确，延长FP交AB于H，可证∠PFE=∠BAP，再通过角的关系推导出AP⊥EF，故②④正确，当P不是BD中点时，AP≠PD，故③不一定正确，因此正确结论为①②④，共3个。）
填空题11. 9 12. $k < 1$ 13. 185 14. 24 15. 3 16. 答案不唯一，如：$l_1: y=2x+1$，$l_2: y=x+2$
解答题17. （1）解：原式 $= 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。 （2）解：原式 $= (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 12 - 18 = -6$。
（1）解：$x^2 - 6x = -5$， $x^2 - 6x + 9 = 4$， $(x-3)^2 = 4$， $x-3 = \pm 2$， $x_1 = 5, x_2 = 1$。 （2）解：$2x(x-3) - (x-3) = 0$， $(x-3)(2x-1) = 0$， $x-3=0$ 或 $2x-1=0$， $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2}$。
证明：（1）在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$ 中， $\begin{cases} AB = CD \ BC = DA \ AC = CA \end{cases}$ $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA (SSS)$。 （2）由（1）得 $\angle BAC = \angle DCA$， $\therefore AB \parallel CD$，又 $AB=CD$， $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。 $\because AC \perp BD$， $\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
解：（1）设一次函数解析式为 $y = kx + b$。 将 $A(2,4)$，$B(-1,-5)$ 代入得： $\begin{cases} 2k + b = 4 \ -k + b = -5 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = 3 \ b = -2 \end{cases}$。 $\therefore$ 一次函数解析式为 $y = 3x - 2$。 （2）令 $x=0$，得 $y=-2$， $\therefore$ 与 $y$ 轴交点为 $M(0, -2)$。 令 $y=0$，得 $x=\frac{2}{3}$， $\therefore$ 与 $x$ 轴交点为 $N(\frac{2}{3}, 0)$。 $\therefore S_{\triangle MON} = \frac{1}{2} \times |OM| \times |ON| = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$。
解：（1）$20 \div 20\% = 100$（名），故本次共调查了100名学生。 （2）C等级人数：$100 \times 30\% = 30$（名），补全条形图略。 （3）$2000 \times (30\% + 10\%) = 2000 \times 0.4 = 800$（名）。 答：估计每周课外阅读时间在4小时以上的学生约有800名。
解：（1）单价为55元时，销售量为 $100 - 5 \times (55-50) = 75$（件）。 利润为 $(55-40) \times 75 = 15 \times 75 = 1125$（元）。 （2）设销售单价定为 $x$ 元 $(x > 50)$。 日销售量为 $[100 - 5(x-50)]$ 件。 由题意得：$(x-40)[100 - 5(x-50)] = 1375$。 整理得：$x^2 - 110x + 2925 = 0$，解得 $x_1 = 65, x_2 = 45$（舍去）。 $\because$ 要尽可能让利顾客， $\therefore$ 应取 $x=65$。 答：（1）利润为1125元；（2）销售单价应定为65元。
证明：（1）在AB上截取BM=BE，连接ME。 $\because$ 四边形ABCD是正方形， $\therefore AB=BC， \angle B=90^\circ$。 $\therefore \triangle BME$ 是等腰直角三角形， $\angle BME = 45^\circ$， $\therefore \angle AME = 135^\circ$。 $\because CF$ 平分 $\angle DCG$， $\therefore \angle DCF = 45^\circ$， $\therefore \angle ECF = 135^\circ = \angle AME$。 $\because \angle AEF = 90^\circ$， $\therefore \angle AEB + \angle FEC = 90^\circ$。 又 $\angle AEB + \angle MAE = 90^\circ$， $\therefore \angle MAE = \angle FEC$。 在 $\triangle AME$ 和 $\triangle ECF$ 中， $\begin{cases} \angle MAE = \angle FEC \ AM = EC \ \angle AME = \angle ECF \end{cases}$ $\therefore \triangle AME \cong \triangle ECF (ASA)$， $\therefore AE = EF$。 （2）由（1）知 $\triangle AEF$ 是等腰直角三角形， $\therefore \angle EAF = 45^\circ = \angle DAF$。 在 $\triangle AHE$ 和 $\triangle AHD$ 中， $\begin{cases} AE = AD \ \angle EAH = \angle DAH \ AH = AH \end{cases}$ $\therefore \triangle AHE \cong \triangle AHD (SAS)$， $\therefore EH = DH$。 $\because AB = CD$， $AM = CE$， $\therefore MB = DE$。 $\therefore BE + DH = BE + EH = BE + (DE + BE?) $ 需重新推导。 更简洁的证法：连接AF后，由（1）AE=EF，结合旋转或全等可证Rt△ABE≌Rt△HCE? 或利用勾股定理。 提示：过E作EM⊥BC交AF于M，可证△ABE≌△EMH，从而BE=MH，再证MF=DH，即可得EH=EM=BE+DH。
解：（1）对于 $l_1: y = -\frac{1}{2}x + 3$，令 $y=0$，得 $x=6$， $\therefore A(6,0)$，令 $x=0$，得 $y=3$， $\therefore B(0,3)$。 由旋转90°可知，$l_2 \perp l_1$，设 $l_2: y = 2x + b$。 将 $A(6,0)$ 代入得 $0 = 12 + b$， $b = -12$。 $\therefore$ 直线 $l_2$ 的解析式为 $y = 2x - 12$。 （2）令 $l2$ 中 $x=0$，得 $y=-12$， $\therefore C(0, -12)$。 $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times |xB| = \frac{1}{2} \times (3+12) \times 6 = 45$。 设 $D(m, 2m-12)$。 $S{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times S{\triangle ABC} = 22.5$。 解法一：$S{\triangle ABD} = S{\triangle ABO} + S{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 + \frac{1}{2} \times 6 \times |2m-12| = 9 + 3|2m-12| = 22.5$。 $\therefore |2m-12| = 4.5$， $2m-12 = 4.5$ 或 $2m-12 = -4.5$。 解得 $m_1 = 8.25$， $m_2 = 3.75$。 $\therefore D_1(8.25, 4.5)$， $D_2(3.75, -4.