（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列方程中,是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ( x^2 + \frac{1}{x} = 0 ) B. ( ax^2 + bx + c = 0 ) C. ( (x-1)(x+2) = 1 ) D. ( 3x^2 - 2xy - 5y^2 = 0 )
抛物线 ( y = 2(x-3)^2 + 1 ) 的顶点坐标是（ ） A. ( (3, 1) ) B. ( (-3, 1) ) C. ( (3, -1) ) D. ( (-3, -1) )
将一元二次方程 ( x^2 - 6x + 5 = 0 ) 化成 ( (x+a)^2 = b ) 的形式，则 ( a, b ) 的值分别是（ ） A. ( -3, 4 ) B. ( 3, 4 ) C. ( -3, -4 ) D. ( 3, -4 )
已知点 ( A(-2, y_1) )，( B(1, y_2) )，( C(3, y_3) ) 都在二次函数 ( y = -(x-1)^2 + 4 ) 的图象上，则 ( y_1, y_2, y_3 ) 的大小关系是（ ） A. ( y_1 < y_2 < y_3 ) B. ( y_3 < y_2 < y_1 ) C. ( y_2 < y_3 < y_1 ) D. ( y_3 < y_1 < y_2 )
关于x的一元二次方程 ( x^2 + 4x - m = 0 ) 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. ( m < -4 ) B. ( m > -4 ) C. ( m < 4 ) D. ( m > 4 )
在平面直角坐标系中,将抛物线 ( y = x^2 - 2x + 3 ) 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. ( y = (x-3)^2 + 3 ) B. ( y = (x+1)^2 + 3 ) C. ( y = (x-3)^2 + 1 ) D. ( y = (x+1)^2 + 1 )
某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为128元，下列方程正确的是（ ） A. ( 200(1+a\%)^2 = 128 ) B. ( 200(1-a\%)^2 = 128 ) C. ( 200(1-2a\%) = 128 ) D. ( 200(1-a^2\%) = 128 )
二次函数 ( y = ax^2 + bx + c ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） （注：图中抛物线开口向下，顶点在第一象限，与y轴交于正半轴） A. ( a > 0, b < 0, c > 0 ) B. ( a < 0, b < 0, c > 0 ) C. ( a < 0, b > 0, c > 0 ) D. ( a < 0, b > 0, c < 0 )
三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程 ( x^2 - 7x + 10 = 0 ) 的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 14
已知二次函数 ( y = ax^2 + bx + c ) 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 |
下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当 ( x > 2 ) 时，y随x的增大而增大 C. 方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的一个根在0和1之间 D. 当 ( x = 4 ) 时，( y > 5 )
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
方程 ( x^2 = 3x ) 的解是____。
若二次函数 ( y = (m-2)x^{m^2-2} ) 的图象开口向上，则m的值为____。
已知关于x的一元二次方程 ( x^2 + kx - 6 = 0 ) 的一个根是2，则另一个根是____。
已知抛物线 ( y = x^2 - 2x - 3 ) 与x轴交于A, B两点（点A在点B左侧），则线段AB的长为____。
某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为____。
定义：在平面直角坐标系中，若点 ( (a, b) ) 满足 ( a = b^2 )，则称这个点为“智慧点”，抛物线 ( y = x^2 + 2x - 3 ) 上有两个“智慧点”，且这两个点关于原点对称，则这两个点的坐标分别是____。
解答题（本大题共8小题，共72分）
（8分）解方程： (1) ( x^2 - 4x - 5 = 0 ) （配方法） (2) ( 2x(x-3) = 3-x )
（6分）已知关于x的一元二次方程 ( x^2 - 4x + m = 0 ) 有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根。
（8分）在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为 ( A(1, -4) )，且过点 ( B(3, 0) )。 (1) 求该二次函数的解析式； (2) 将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
（8分）已知抛物线 ( y = -x^2 + bx + c ) 经过点 ( A(3, 0) )，( B(-1, 0) )。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 求抛物线的对称轴和顶点坐标； (3) 当x为何值时，y随x的增大而减小？
（10分）某商场以每件40元的价格购进一批商品，当售价定为每件60元时，每天可售出300件，经市场调查发现：销售单价每降低1元，每天可多售出20件。 (1) 若销售单价降低x元，则每天的销售量为____件，每件商品的利润为____元；（用含x的代数式表示） (2) 若商场每天要获得6240元的销售利润，且让顾客得到更多实惠，销售单价应定为多少元？
（10分）如图，一次函数 ( y_1 = kx + b ) 的图象与二次函数 ( y_2 = ax^2 ) 的图象交于点 ( A(-1, m) ) 和点 ( B(2, n) )，且与y轴交于点 ( C(0, 3) )。 (1) 求二次函数的表达式和一次函数的表达式； (2) 根据图象，直接写出当 ( y_1 > y_2 ) 时，自变量x的取值范围。
（10分）阅读材料：为解方程 ( (x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0 )，我们可以将 ( x^2 - 1 ) 视为一个整体，然后设 ( x^2 - 1 = y )，则原方程可化为 ( y^2 - 5y + 4 = 0 )，解得 ( y_1 = 1, y_2 = 4 )，当 ( y = 1 ) 时，( x^2 - 1 = 1 )，解得 ( x = \pm \sqrt{2} )；当 ( y = 4 ) 时，( x^2 - 1 = 4 )，解得 ( x = \pm \sqrt{5} )，故原方程的解为 ( x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = \sqrt{5}, x_4 = -\sqrt{5} )。 利用以上方法解答下列问题： (1) 填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了____的数学思想达到了降次的目的。 (2) 解方程：( (x^2 + x)^2 - 4(x^2 + x) - 12 = 0 )。
（12分）如图，抛物线 ( y = ax^2 + bx + 3 ) （a≠0）与x轴交于点 ( A(-1, 0) )，( B(3, 0) )，与y轴交于点C，连接BC。 (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD//y轴交BC于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标； (3) 若点M在抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，是否存在点M，N，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
2025年初三上册数学期中试卷（带答案）
选择题
C 2. A 3. A 4. B 5. B 6. A 7. B 8. C 9. B 10. D
填空题11. ( x_1 = 0, x_2 = 3 ) 12. ( \sqrt{3} ) （或 ( \sqrt{3} )） 13. ( -3 ) 14. ( 4 ) 15. ( 1 + x + x^2 = 57 ) 16. ( (1, 1) ) 和 ( (1, -1) ) （注：需满足 ( a = b^2 ) 且点在抛物线上，联立解得）
解答题17. (1) 解：( x^2 - 4x = 5 ) ( x^2 - 4x + 4 = 9 ) ( (x-2)^2 = 9 ) ( x-2 = \pm 3 ) ( x_1 = 5, x_2 = -1 ) (2) 解：( 2x(x-3) + (x-3) = 0 ) ( (x-3)(2x+1) = 0 ) ( x-3 = 0 ) 或 ( 2x+1 = 0 ) ( x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2} )
解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ ( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times m = 16 - 4m = 0 )， 解得 ( m = 4 )。 此时方程为 ( x^2 - 4x + 4 = 0 )，即 ( (x-2)^2 = 0 )， 解得 ( x_1 = x_2 = 2 )。
(1) 解：设二次函数解析式为 ( y = a(x-1)^2 - 4 )。 将点 ( B(3, 0) ) 代入得：( 0 = a(3-1)^2 - 4 )， 解得 ( a = 1 )。 故解析式为 ( y = (x-1)^2 - 4 )，即 ( y = x^2 - 2x - 3 )。 (2) 解：原函数与x轴交点为 ( (-1, 0) ) 和 ( (3, 0) )。 向右平移1个单位后，抛物线经过原点 ( (0, 0) )。 此时另一个交点坐标为 ( (4, 0) )。
(1) 解：将A，B坐标代入得： ( \begin{cases} -9 + 3b + c = 0 \ -1 - b + c = 0 \end{cases} ) 解得 ( b = 2, c = 3 )。 故解析式为 ( y = -x^2 + 2x + 3 )。 (2) 解：对称轴为 ( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 )。 当 ( x = 1 ) 时，( y = -1 + 2 + 3 = 4 )。 顶点坐标为 ( (1, 4) )。 (3) 解：∵ 抛物线开口向下， ∴ 当 ( x > 1 ) 时，y随x的增大而减小。
(1) ( (300 + 20x) )；( (20 - x) ) (2) 解：根据题意得：( (20 - x)(300 + 20x) = 6240 )。 整理得：( x^2 - 5x + 6 = 0 )， 解得 ( x_1 = 2, x_2 = 3 )。 ∵ 要让顾客得到更多实惠，即售价更低， ∴ 取 ( x = 3 )。 销售单价应定为 ( 60 - 3 = 57 )（元）。 答：销售单价应定为57元。
(1) 解：将 ( B(2, n) ) 代入 ( y_2 = ax^2 ) 得 ( n = 4a )。 将 ( A(-1, m) ) 代入得 ( m = a )。 将 ( A(-1, a) )，( B(2, 4a) )，( C(0, 3) ) 代入 ( y_1 = kx + b ) 得： ( \begin{cases} -k + b = a \ 2k + b = 4a \ b = 3 \end{cases} ) 解得 ( a = 1, k = 1, b = 3 )。 故二次函数表达式为 ( y_2 = x^2 )。 一次函数表达式为 ( y_1 = x + 3 )。 (2) 解：由图象可知，当 ( -1 < x < 2 ) 时，一次函数图象在二次函数图象上方， 即 ( y_1 > y_2 ) 时，x的取值范围是 ( -1 < x < 2 )。
(1) 换元 (2) 解：设 ( x^2 + x = y )，则原方程化为 ( y^2 - 4y - 12 = 0 )。 解得 ( y_1 = 6, y_2 = -2 )。 当 ( y = 6 ) 时，( x^2 + x = 6 )，即 ( x^2 + x - 6 = 0 )， 解得 ( x_1 = 2, x_2 = -3 )。 当 ( y = -2 ) 时，( x^2 + x = -2 )，即 ( x^2 + x + 2 = 0 )， ( \Delta = 1 - 8 = -7 < 0 )，此方程无实数根。 故原方程的解为 ( x_1 = 2, x_2 = -3 )。
(1) 解：将 ( A(-1, 0) )，( B(3, 0) ) 代入得： ( \begin{cases} a - b + 3 = 0 \ 9a + 3b + 3 = 0 \end{cases} ) 解得 ( a = -1, b = 2 )。 故抛物线的函数表达式为 ( y = -x^2 + 2x + 3 )。 (2) 解：令 ( x = 0 )，则 ( y = 3 )，故 ( C(0, 3) )。 设直线BC解析式为 ( y = kx + 3 )，将 ( B(3, 0) ) 代入得 ( 0 = 3k + 3 )，解得 ( k = -1 )。 故直线BC解析式为 ( y = -x + 3 )。 设 ( P(t, -t^2 + 2t + 3) ) （( 0 < t < 3 )），则 ( D(t, -t + 3) )。 ( PD = (-t^2 + 2t + 3) - (-t + 3) = -t^2 + 3t = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} )。 当 ( t = \frac{3}{2} ) 时，PD取得最大值 ( \frac