（满分：120分，考试时间：120分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. y = 2x - 1 B. y = 3/x C. y = x² + 2x D. y = √x
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ） A. 3/5 B. 4/5 C. 3/4 D. 4/3
已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） （此处应有主视图、左视图为矩形，俯视图为圆的图示） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球
关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1
如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 65° D. 75°
将抛物线 y = 2x² 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. y = 2(x-1)² + 3 B. y = 2(x+1)² + 3 C. y = 2(x-1)² - 3 D. y = 2(x+1)² - 3
在反比例函数 y = (2-m)/x 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. m > 2 B. m < 2 C. m > 0 D. m < 0
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ） A. 3:5 B. 9:25 C. 3:2 D. 9:4
二次函数 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b²-4ac>0，其中正确的个数是（ ） （此处应有开口向下，对称轴为x=1，与y轴正半轴相交的抛物线图示） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
已知∠A是锐角，且cosA = 1/2，则∠A =__度。
若两个相似三角形的相似比为2:3，且较小三角形的面积为8，则较大三角形的面积为__。
一个扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则这个扇形的弧长为__cm。
已知点A(-2, y₁)，B(1, y₂)在二次函数 y = (x-1)² + 3 的图象上，则y₁__y₂（填“>”、“<”或“=”）。
如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°，若PA=6，则⊙O的半径为__。
观察下列图形及对应的等式： 第1个图：1=1² 第2个图：1+3=2² 第3个图：1+3+5=3² …… 按照此规律，第n个图对应的等式为____。
解答题（本大题共9小题，共72分）
（6分）计算： (-1)^2025 + (π-3)⁰ - √8 * sin45° + |1-√3|。
（6分）解方程： 2x² - 4x - 1 = 0。
（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1, 2)，B(-3, 1)，C(0, -1)。 （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC的相似比为2:1。 （2）写出点A'的坐标。
（8分）为弘扬传统文化，学校举办了“诗词大赛”，初三（1）班有3名男生和2名女生报名参加。 （1）若从这5名学生中随机选取1名担任班级领队，则选中男生的概率是多少？ （2）若从这5名学生中随机选取2名参加年级比赛，请用列表或画树状图的方法,求恰好选中1名男生和1名女生的概率。
（8分）如图，某数学兴趣小组为了测量校园内旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10米到达点D，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米，求旗杆AB的高度。（结果保留根号）
（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，BC=12,求线段DE的长。
（9分）某超市销售一种进价为40元/千克的坚果，规定售价不低于进价，且利润率不得高于50%，经市场调查发现：日销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系,部分数据如下表：
| 售价x（元/千克） | 50 | 60 |
|---|---|---|
| 日销售量y（千克） | 100 | 80 |
（1）求y与x之间的函数表达式。
（2）设该超市销售这种坚果的日利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出售价为多少时，日利润最大？最大利润是多少？（10分）【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。 【结论应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE与BD相交于点F，若BE:EC=2:1。 ①求BF:FD的值； ②若△BEF的面积为4,求平行四边形ABCD的面积。
（10分）如图，抛物线 y = ax² + bx + 3 (a≠0) 与x轴交于A(-1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求该抛物线的解析式。 （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。 （3）点M是抛物线在第一象限内的一个动点，连接MB，MC，设△MBC的面积为S,求S的最大值及此时点M的坐标。
2025年初三下册数学期末试卷（带答案）
选择题
C 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C 7. A 8. B 9. B 10. C
填空题11. 60 12. 18 13. 4π 14. > 15. 2√3 16. 1+3+5+...+(2n-1) = n²
解答题17. 解：原式 = -1 + 1 - 2√2 * (√2/2) + (√3-1) = 0 - 2 + √3 - 1 = √3 - 3。
解：a=2，b=-4，c=-1。 Δ = (-4)² - 42(-1) = 16+8=24。 x = [4 ± √24] / (2*2) = [4 ± 2√6] / 4 = (2 ± √6) / 2。 ∴ x₁ = (2+√6)/2， x₂ = (2-√6)/2。
解：（1）图略（对应点横纵坐标均乘以2，得到A'( -2, 4 )，但题目要求在第一象限，故应取A'(2, -4)? 注意：位似中心为原点，相似比2:1，若在第一象限画图，则对应点坐标应为原坐标的相反数乘以相似比？此处有歧义，常见题型是要求放大后图形在原图形同侧（即坐标同号）或异侧，根据“第一象限”要求，A'坐标应为(2, 4)，B'(6, -2)，C'(0, 2)？ 原A(-1,2)在第一象限外，位似后进入第一象限应为(2,4)，此答案按此处理。 （2）A'(2, 4)。
解：（1）P(选中男生)=3/5。 （2）列表或树状图略。 共有20种等可能结果，其中恰好1男1女有12种结果。 P(恰好1男1女)=12/20=3/5。
解：设AB的高为h米（不含测角仪高度）。 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴ BC = h。 在Rt△ABD中，∠ADB=60°，∴ BD = h / √3 = h√3 / 3。 ∵ CD = BC - BD = 10， ∴ h - h√3 / 3 = 10。 解得 h = 10 / (1 - √3/3) = 10 / ((3-√3)/3) = 30/(3-√3) = 30(3+√3)/(9-3) = 5(3+√3) = 15+5√3。 旗杆总高度 = h + 1.5 = 15 + 5√3 + 1.5 = (16.5 + 5√3) 米。 答：旗杆高度为(16.5+5√3)米。
（1）证明：连接OD。 ∵ OB=OD，∴ ∠B=∠ODB。 ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。 ∴ ∠ODB=∠C。∴ OD∥AC。 ∵ DE⊥AC，∴ DE⊥OD。 ∴ DE是⊙O的切线。 （2）解：连接AD。 ∵ AB为直径，∴ AD⊥BC。 ∵ AB=AC，BC=12，∴ BD=DC=6。 在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，∴ AD=8。 ∵ S△ADC = (1/2)ADDC = (1/2)ACDE。 ∴ (1/2)86 = (1/2)10DE。 ∴ DE = 4.8。
解：（1）设y=kx+b，将(50,100)，(60,80)代入： 100=50k+b， 80=60k+b。 解得 k=-2， b=200。 ∴ y = -2x + 200。 （2）w = (x-40)y = (x-40)(-2x+200) = -2x² + 280x - 8000。 ∵ 售价不低于进价，且利润率不高于50%，∴ 40 ≤ x ≤ 60。 w = -2(x-70)² + 1800，∵ -2<0，对称轴x=70>60， ∴ 在40≤x≤60内，w随x增大而增大。 ∴ 当x=60时，w最大 = -2(60-70)²+1800 = -2*100+1800=1600元。 答：售价为60元/千克时，日利润最大,为1600元。
（1）证明：∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C。∴ △ADE∽△ABC。 （2）解：①在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。 ∵ BE:EC=2:1，∴ 设BE=2k，EC=k，则BC=3k，AD=3k。 ∵ AD∥BC，∴ △BEF∽△DAF。 ∴ BF:FD = BE:AD = 2k : 3k = 2:3。 ②∵ △BEF∽△DAF，且相似比为2:3，∴ 面积比为4:9。 ∴ S△DAF = 9。 ∵ △BEF与△DEF等高，底边BF:FD=2:3，∴ S△DEF = 6。 ∴ S△BDE = 4+6=10。 ∵ △BDE与△CDE等高，底边BE:EC=2:1，∴ S△CDE = 5。 ∴ S△BCD = 10+5=15。 ∴ 平行四边形ABCD面积 = 2 * S△BCD = 30。
解：（1）将A(-1,0)，B(3,0)代入 y=ax²+bx+3得： a - b + 3 = 0 9a + 3b + 3 = 0 解得 a = -1， b = 2。 ∴ 抛物线解析式为 y = -x² + 2x + 3。 （2）抛物线对称轴为 x = 1。 点A关于对称轴x=1的对称点为B(3,0)。 连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC=PB+PC=BC最小。 设直线BC解析式为y=kx+3，将B(3,0)代入得0=3k+3，k=-1。 ∴ y=-x+3，当x=1时，y=2。∴ P(1, 2)。 （3）过点M作MN∥y轴交BC于点N。 设M(m, -m²+2m+3) (0<m<3)，则N(m, -m+3)。 ∴ MN = (-m²+2m+3) - (-m+3) = -m² + 3m。 S△MBC = S△MNC + S△MNB = (1/2)MN(m) + (1/2)MN(3-m) = (1/2)MN3 = (3/2)*(-m²+3m) = -(3/2)(m²-3m) = -(3/2)[(m-3/2)² - 9/4] = -(3/2)(m-3/2)² + 27/8。 ∵ -(3/2)<0，∴ 当m=3/2时，S有最大值27/8。 此时M(3/2, -9/4+3+3) = (3/2, 15/4)。 ∴ S最大值为27/8，此时M坐标为(3/2, 15/4)。