2025年初中数学公式大全应用能力测试卷（带答案）

（考试时间：90分钟 满分：100分）

选择题（每题3分，共15分）

1. 下列公式中，属于完全平方公式的是（ ） A. ( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ) B. ( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ) C. ( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ) D. ( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab )

2. 圆的面积公式是（ ） A. ( C = 2\pi r ) B. ( S = \pi r^2 ) C. ( V = \frac{4}{3}\pi r^3 ) D. ( S = 2\pi rh )

3. 直角三角形中，勾股定理的正确表达式是（ ） A. ( a^2 + b^2 = c^2 ) B. ( a + b = c ) C. ( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} ) D. ( c^2 = a^2 - b^2 )

4. 一元二次方程 ( ax^2+bx+c=0 ) (( a \neq 0 )) 的求根公式是（ ） A. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) B. ( x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) C. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a} ) D. ( x = b^2 - 4ac )

5. 若梯形的上底为 ( a )，下底为 ( b )，高为 ( h )，则其面积公式为（ ） A. ( S = ab ) B. ( S = \frac{1}{2}(a+b)h ) C. ( S = \frac{1}{2}ah ) D. ( S = (a+b)h )

填空题（每空2分，共20分）

1. 平方差公式：( a^2 - b^2 = )__。
2. 一次函数的一般式是__，( k ) 是斜率。
3. 弧长公式（圆心角 ( n ) 度，半径 ( r )）：( l = )__。
4. 扇形面积公式（圆心角 ( n ) 度，半径 ( r )）：( S_{\text{扇形}} = )__。
5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：( x_1 + x_2 = )__，( x_1 x_2 = )__。
6. 等差数列第 ( n ) 项公式：( a_n = )__。
7. 两点 ( A(x_1, y_1) )、( B(x_2, y_2) ) 间的距离公式：( AB = )__。
8. 三角形面积公式（已知底 ( a ) 和高 ( h )）：( S_{\triangle} = )__。

判断题（每题2分，共10分）

1. ( (a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2 )。 （ ）
2. 球的体积公式是 ( V = \frac{4}{3}\pi r^3 )。 （ ）
3. 正弦定理适用于所有三角形。 （ ）
4. 因式分解中，( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) )。 （ ）
5. 圆的周长公式是 ( C = \pi d )（( d ) 为直径）。 （ ）

计算与应用题（共55分）

1. 公式默写与变形（10分）： (1) 写出立方和公式（2分） (2) 将勾股定理变形，用 ( a, c ) 表示直角边 ( b )（2分） (3) 写出平行四边形面积公式（2分） (4) 写出二次函数顶点坐标公式（( y=ax^2+bx+c )）（4分）

2. 直接应用计算（15分）： (1) 已知 ( x_1, x_2 ) 是方程 ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 ) 的两根，利用韦达定理求 ( x_1 + x_2 ) 和 ( x_1 x_2 ) 的值。（4分） (2) 计算半径为 6cm 的圆的周长和面积。（( \pi ) 取 3.14）（4分） (3) 已知一次函数过点 ( (0, 3) ) 和 ( (2, 7) )，求其解析式。（4分） (4) 在 ( \triangle ABC ) 中，( \angle C = 90^\circ )，( a=3 ), ( c=5 )，求直角边 ( b ) 的长度。（3分）

3. 综合应用题（20分）： (1) 一个梯形的上底是 5 cm，下底是 9 cm，面积是 42 cm²，求它的高。（5分） (2) 将一段铁丝围成一个长方形，若长方形的长比宽多 2 cm，且面积为 24 cm²，利用一元二次方程知识求长方形的长和宽。（7分） (3) 某圆锥的底面半径是 4 cm，母线长是 5 cm，求它的侧面积和全面积（底面积+侧面积）。（8分）

4. 拓展思考题（10分）： 观察下列等式： ( 1^3 + 2^3 = (1+2)^2 = 9 ) ( 1^3 + 2^3 + 3^3 = (1+2+3)^2 = 36 ) (1) 请写出前 ( n ) 个自然数立方和的公式（用含 ( n ) 的式子表示）。（4分） (2) 利用你学过的乘法公式知识，证明 ( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 )。（6分）

2025年初中数学公式大全应用能力测试卷 参考答案

选择题

B 2. B 3. A 4. A 5. B

填空题

1. ( (a-b)(a+b) )
2. ( y = kx + b ) （或 ( y = kx )）
3. ( \frac{n\pi r}{180} )
4. ( \frac{n\pi r^2}{360} ) 或 ( \frac{1}{2} lr )（( l ) 为弧长）
5. ( -\frac{b}{a} )，( \frac{c}{a} )
6. ( a_1 + (n-1)d )
7. ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} )
8. ( \frac{1}{2} ah )

判断题

1. 错（应为 ( a^2 - 2ab + b^2 )）
2. 对
3. 对
4. 对
5. 对

计算与应用题

1. (1) ( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) ) (2) ( b = \sqrt{c^2 - a^2} ) (3) ( S = ah ) （( a ) 为底，( h ) 为高） (4) 顶点坐标：( \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) )

2. (1) ( x_1 + x_2 = 2 )， ( x_1 x_2 = -3 ) (2) 周长 ( C = 2 \times 3.14 \times 6 = 37.68 ) cm，面积 ( S = 3.14 \times 6^2 = 113.04 ) cm² (3) 设 ( y = kx + b )，代入两点得：( b=3 )，( 2k+3=7 )，解得 ( k=2 )，解析式为 ( y = 2x + 3 ) (4) ( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 )

3. (1) 高 ( h = 2S \div (a+b) = 2 \times 42 \div (5+9) = 84 \div 14 = 6 ) cm (2) 设宽为 ( x ) cm，则长为 ( (x+2) ) cm。( x(x+2) = 24 )，解得 ( x^2 + 2x -24 = 0 )，( (x+6)(x-4)=0 )，( x=4 )（舍负），宽为 4 cm，长为 6 cm。 (3) 侧面积 ( S{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi ) cm²，底面积 ( S{\text{底}} = \pi r^2 = 16\pi ) cm²，全面积 ( S_{\text{全}} = 20\pi + 16\pi = 36\pi ) cm²。

4. (1) ( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1+2+3+...+n)^2 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 ) (2) 证明： ( (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 ) ( = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) ) ( = a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) ) ( = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 ) ( = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ),证毕。