2025年初中数学综合能力测试卷（附答案）

1. 本试卷共三大题，满分100分,考试时间90分钟。
2. 请独立思考完成,诚信作答。
3. 答案请写在答题卡指定位置。

选择题（每题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（ ） A. (2^3 = 6) B. (\sqrt{9} = \pm3) C. ((-2)^2 = 4) D. (|-5| = -5)

2. 一元二次方程 (x^2 - 5x + 6 = 0) 的解是（ ） A. (x_1 = 2, x_2 = 3) B. (x_1 = -2, x_2 = -3) C. (x_1 = 1, x_2 = 6) D. (x_1 = -1, x_2 = 6)

3. 在平面直角坐标系中，点 (P(-3, 4)) (y) 轴对称的点的坐标是（ ） A. ((3, 4)) B. ((-3, -4)) C. ((3, -4)) D. ((-3, 4))

4. 若一个多边形的内角和是 (1080^\circ)，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形

5. 下列函数中，(y) 随 (x) 的增大而减小的是（ ） A. (y = 2x) B. (y = 2x - 1) C. (y = -3x + 1) D. (y = x^2)

6. 将抛物线 (y = x^2) 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. (y = (x - 2)^2 + 1) B. (y = (x + 2)^2 + 1) C. (y = (x - 2)^2 - 1) D. (y = (x + 2)^2 - 1)

7. 在 (\triangle ABC) 中，(\angle C = 90^\circ)，(AC = 3)，(BC = 4)，则 (\sin A) 的值为（ ） A. (\frac{3}{5}) B. (\frac{4}{5}) C. (\frac{3}{4}) D. (\frac{4}{3})

8. 一组数据：2，4，5，6，7的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 若 (a > b)，则下列不等式一定成立的是（ ） A. (ac > bc) B. (a - 2 < b - 2) C. (-2a > -2b) D. (a + 3 > b + 3)

10. (x) 的一元一次不等式组 (\begin{cases} x - 1 > 0 \ 2x \leq 6 \end{cases}) 的解集在数轴上表示为（ ） A. 一条射线 B. 一条线段 C. 整个数轴 D. 空集

填空题（每题4分，共20分）11. 分解因式：(x^2 - 4y^2 =)____。 12. 若二次根式 (\sqrt{x-2}) 在实数范围内有意义，则 (x) 的取值范围是____。 13. 一个扇形的圆心角为 (60^\circ)，半径为 (6\text{cm})，则这个扇形的面积是____(\text{cm}^2)（结果保留 (\pi)）。 14. 已知 (2x - 3y = 5)，则代数式 (6x - 9y - 4) 的值是____。 15. 观察下列按规律排列的数：(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots)，则第 (n) 个数是____（用含 (n) 的式子表示）。

解答题（共50分）16. （8分）计算：((-1)^{2025} + \sqrt{8} - |1 - \sqrt{2}| - (\pi - 3)^0)。

17. （8分）先化简，再求值：(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1})，(x = 3)。

18. （10分）如图，在平行四边形 (ABCD) 中，点 (E)，(F) 分别在边 (BC)，(AD) 上，且 (BE = DF)，连接 (AE)，(CF)，求证：四边形 (AECF) 是平行四边形。

19. （12分）某商店销售一种进价为20元/件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 (y)（件）与销售单价 (x)（元/件）满足一次函数关系：(y = -2x + 100)。 （1）求该商店销售这种商品每天的销售利润 (W)（元）与销售单价 (x)（元/件）之间的函数关系式。 （2）若商店每天要获得不低于300元的利润,则销售单价应定为多少元？

20. （12分）在 (\triangle ABC) 中，(\angle BAC = 90^\circ)，(AB = AC)，点 (D) 是 (BC) 边上的一个动点（不与 (B)，(C) 重合），连接 (AD)，以 (AD) 为边在 (AD) 的右侧作正方形 (ADEF)，连接 (CF)。 （1）求证：(CF \perp BC)。 （2）当点 (D) 在线段 (BC) 上运动时，线段 (CF) 与 (BD) 之间的数量关系是否发生变化？若不变化，请证明；若变化,请说明理由。

2025年初中数学综合能力测试卷 参考答案

选择题

1. C
2. A
3. A
4. C
5. C
6. A
7. B
8. B
9. D
10. B

填空题11. ((x + 2y)(x - 2y)) 12. (x \geq 2) 13. (6\pi) 14. 11 15. ((-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n})

解答题16. 解：原式 (= -1 + 2\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) - 1) (= -1 + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 - 1) (= \sqrt{2} - 1)。

17. 解：原式 (= \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} = 1)。 当 (x = 3) 时，原式 (= 1)。

18. 证明：∵ 四边形 (ABCD) 是平行四边形， ∴ (AD \parallel BC)，(AD = BC)。 ∵ (BE = DF)， ∴ (AF = EC)。 又 ∵ (AF \parallel EC)， ∴ 四边形 (AECF) 是平行四边形。

19. 解：（1）由题意得：(W = (x - 20) \cdot y = (x - 20)(-2x + 100) = -2x^2 + 140x - 2000)。 （2）由 (-2x^2 + 140x - 2000 \geq 300)， 得 (x^2 - 70x + 1150 \leq 0)， 解得 (25 \leq x \leq 45)。 答：销售单价应定在25元至45元之间。

20. （1）证明：∵ (\angle BAC = 90^\circ)，(AB = AC)， ∴ (\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ)。 ∵ 四边形 (ADEF) 是正方形， ∴ (AD = AF)，(\angle DAF = 90^\circ)。 ∵ (\angle BAD = 90^\circ - \angle DAC)，(\angle CAF = 90^\circ - \angle DAC)， ∴ (\angle BAD = \angle CAF)。 在 (\triangle ABD) 和 (\triangle ACF) 中， (AB = AC)，(\angle BAD = \angle CAF)，(AD = AF)， ∴ (\triangle ABD \cong \triangle ACF)（SAS）。 ∴ (\angle ACF = \angle ABD = 45^\circ)。 ∴ (\angle BCF = \angle ACB + \angle ACF = 90^\circ)， 即 (CF \perp BC)。 （2）不变化，(CF = BD)。 理由：由（1）知 (\triangle ABD \cong \triangle ACF)，故 (CF = BD)。