（满分：150分 考试时间：120分钟）
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x^2 - 2x - 3 \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( (-2, -1] ) \quad B. ( (-2, 3] ) \quad C. ( [-1, 3] ) \quad D. ( [-1, 3) )
命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 \leq 0 ) C. ( \exists x \notin \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \notin \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 \leq 0 )
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 > b^2 ) \quad C. ( \ln(a-b) > 0 ) \quad D. ( 2^a > 2^b )
函数 ( f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x-1} ) 的定义域为（ ） A. ( [-2, 1) \cup (1, +\infty) ) \quad B. ( (-2, 1) \cup (1, +\infty) ) \quad C. ( [-2, +\infty) ) \quad D. ( (1, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
若正实数 ( a, b ) 满足 ( a + 2b = 1 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} ) 的最小值为（ ） A. ( 4\sqrt{2} ) \quad B. 8 \quad C. 9 \quad D. 12
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) \quad B. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) C. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) ) \quad D. ( (-2, 0) \cup (0, 2) )
设函数 ( f(x) = |\lg x| )，若 ( 0 < a < b ) 且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是（ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad C. ( (3, +\infty) ) \quad D. ( [3, +\infty) )
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} )， ( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c \geq 0 ) 的解集为 ( { x | x \leq -2 \text{ 或 } x \geq 3 } )，则（ ） A. ( a > 0 ) B. 不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为 ( { x | -\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} } ) C. ( a + b + c > 0 ) D. ( c < 0 )
德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ( D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ) 被称为狄利克雷函数，关于此函数，下列说法正确的是（ ） A. ( D(D(\pi)) = 0 ) B. ( D(x) ) 的值域为 ( { 0, 1 } ) C. ( D(x) ) 是偶函数 D. 任意一个非零有理数 ( T ) 都是 ( D(x) ) 的周期
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) \cdot x^{m-2} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，则 ( m = )__。
已知 ( f(x) ) 是定义域为 ( \mathbb{R} ) 的偶函数，且当 ( x \geq 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则不等式 ( f(x+1) < 3 ) 的解集为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 3, & x \leq 1 \ \frac{2a}{x}, & x > 1 \end{cases} ) 满足对任意 ( x_1 \neq x_2 )，都有 ( \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0 ) 成立，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（15分）为响应国家节能减排的号召，某企业计划对A、B两款车型进行技术升级，根据市场调研：升级后A型车的利润 ( y_1 )（万元）与投入的研发成本 ( x )（万元）满足：( y_1 = \frac{1}{4}x + 10 )；升级后B型车的利润 ( y_2 )（万元）与投入的研发成本 ( x )（万元）满足：( y_2 = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{67}{2} )。 （1）当投入A、B两款车型的研发成本各为多少万元时，总利润最大？最大总利润是多少万元？ （2）若企业计划对两款车型共投入60万元研发成本，怎样分配这60万元给A、B两款车型，才能使总利润最大？最大总利润是多少万元？
（17分）已知函数 ( f(x) = \log_a (3 - ax) ) （( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。 （1）当 ( a = 2 ) 时，求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, 1] ) 上的最大值与最小值； （2）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, 1] ) 上是单调函数，求实数 ( a ) 的取值范围。
（17分）对于定义域为 ( D ) 的函数 ( y = f(x) )，如果存在区间 ( [m, n] \subseteq D )，同时满足下列条件： ① ( f(x) ) 在 ( [m, n] ) 上是单调函数； ② 当 ( f(x) ) 的定义域为 ( [m, n] ) 时，值域也为 ( [m, n] )。 则称区间 ( [m, n] ) 是函数 ( f(x) ) 的“和谐区间”。 （1）判断函数 ( f(x) = x^3 ) 是否存在“和谐区间”，并说明理由； （2）若函数 ( g(x) = \sqrt{x-1} + t ) （( t \in \mathbb{R} )）存在“和谐区间”，求实数 ( t ) 的取值范围。
2025年高一数学新教材综合测试卷（带答案）
单项选择题
C \quad 2. B \quad 3. D \quad 4. A \quad 5. C \quad 6. C \quad 7. A \quad 8. C
多项选择题9. AD \quad 10. ABD \quad 11. BCD
填空题12. -1 \quad 13. ( (-3, 1) ) \quad 14. ( (-\infty, -1] )
解答题15. （1）( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )； ( (C_U A) \cap B = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 （2）( a \geq 10 )。
（1）单调递增，证明：任取 ( x_1, x_2 \in [0, +\infty) ) 且 ( x_1 < x_2 )，计算 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} < 0 )，得证。 （2）值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
（1）设总利润为 ( W(x) = y_1 + y2 = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{15}{4}x + \frac{87}{2} )（( x \geq 0 )）。 当 ( x = \frac{75}{2} = 37.5 ) 万元时，( W{max} = \frac{609}{4} = 152.25 ) 万元。 （2）设投入A型车 ( x ) 万元，则投入B型车 ( (60-x) ) 万元，总利润 ( L(x) = \frac{1}{4}x + 10 + [-\frac{1}{20}(60-x)^2 + \frac{7}{2}(60-x) + \frac{67}{2}] = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{9}{4}x + 100 ) （( 0 \leq x \leq 60 )）。 当 ( x = 22.5 ) 万元时，( L_{max} = \frac{1625}{16} = 101.5625 ) 万元，故投入A型车22.5万元，B型车37.5万元时，总利润最大，约为101.56万元。
（1）当 ( a=2 ) 时，( f(x) = \log_2 (3-2x) ) 在 ( [0,1] ) 上单调递减，最大值为 ( f(0)=\log_2 3 )，最小值为 ( f(1)=0 )。 （2）令 ( u = 3-ax )，当 ( a>1 ) 时，( u ) 递减，( f(x) ) 递减，需 ( u>0 ) 在 ( [0,1] ) 上恒成立，即 ( 3-a>0 )，得 ( 1<a<3 )。 当 ( 0<a<1 ) 时，( u ) 递减，( f(x) ) 递增，需 ( u>0 ) 在 ( [0,1] ) 上恒成立，即 ( 3>0 ) 恒成立，同时需保证 ( u ) 在 ( [0,1] ) 上恒正，即 ( 3-a*1 > 0 )，得 ( 0<a<3 )，与 ( 0<a<1 ) 取交集得 ( 0<a<1 )。 综上，( a \in (0,1) \cup (1,3) )。
（1）不存在，理由：假设存在，( f(x)=x^3 ) 在 ( [m,n] ) 上单调递增，则需 ( m^3=m ) 且 ( n^3=n ) 且 ( m<n )，解得 ( m,n \in {-1,0,1} )，无法构成满足 ( m<n ) 的区间 ( [m,n] ) 同时保证 ( f(x) ) 在区间内单调递增（( [-1,1] ) 不单调），故不存在。 （2）( g(x) = \sqrt{x-1} + t ) 在定义域 ( [1,+\infty) ) 上单调递增，若存在“和谐区间” ( [m,n] )，则 ( \begin{cases} g(m)=m \ g(n)=n \ 1 \leq m < n \end{cases} ) 即 ( \begin{cases} \sqrt{m-1} + t = m \ \sqrt{n-1} + t = n \end{cases} )。 两式相减得 ( \sqrt{n-1} - \sqrt{m-1} = n - m = (\sqrt{n-1} - \sqrt{m-1})(\sqrt{n-1} + \sqrt{m-1}) )。 因为 ( \sqrt{n-1} > \sqrt{m-1} )，( 1 = \sqrt{n-1} + \sqrt{m-1} )。 又由 ( \sqrt{m-1} = m - t ) 代入上式得 ( \sqrt{n-1} = 1 - (m-t) )，结合 ( \sqrt{n-1} = n - t )，可得 ( m+n=1+2t )。 且 ( m, n ) 是关于 ( x ) 的方程 ( \sqrt{x-1} = x - t ) 的两个不等实根，即方程 ( x - t = \sqrt{x-1} ) 在 ( [1,+\infty) ) 上有两个不等实根。 令 ( \sqrt{x-1} = u \geq 0 )，则 ( x = u^2 + 1 )，原方程化为 ( u^2 + 1 - t = u )，即 ( u^2 - u + 1 - t = 0 ) 在 ( [0,+\infty) ) 上有两个不等非负根 ( u_1, u_2 )。 需满足：( \Delta = 1 - 4(1-t) > 0 )； ( u_1 + u_2 = 1 > 0 )； ( u_1 u_2 = 1 - t \geq 0 )。 解得 ( t > \frac{3}{4} ) 且 ( t \leq 1 )，故 ( t \in (\frac{3}{4}, 1] )。