选择题（每题5分，共40分）
已知函数 ( f(x) = 2^x - 3 )，则 ( f^{-1}(5) ) 的值为（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5若等差数列 ({a_n}) 满足 ( a_3 = 5 )，( a_7 = 13 )，则公差 ( d = )（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5在 (\triangle ABC) 中，( a=3, b=4, \angle C = 60^\circ )，则 ( c = )（ ）
A. ( \sqrt{13} )
B. ( \sqrt{15} )
C. ( \sqrt{17} )
D. ( \sqrt{19} )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (x, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( x = )（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1若复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} )，则 ( z ) 的虚部为（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. i直线 ( y = 2x + 1 ) 与圆 ( x^2 + y^2 = 5 ) 的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定已知 ( \log_2 a = 3 )，( \log_2 b = 4 )，则 ( \log_2 \frac{a^2}{b} = )（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5从5名男生和3名女生中选3人参加活动,要求至少有1名女生，不同的选法有（ ）
A. 56种
B. 46种
C. 36种
D. 26种
填空题（每题5分，共30分）
9. 已知集合 ( A = {x \mid x^2 - 5x + 6 = 0} )，则 ( A = )__。
10. 若 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) )，则 ( \cos \theta = )__。
11. 不等式 ( |2x - 1| < 3 ) 的解集为__。
12. 已知双曲线 ( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 ) 的渐近线方程为__。
13. 若 ( \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + 1} = )__。
14. 在 ((x + \frac{1}{x})^6) 的展开式中，常数项为__。
解答题（共50分）
15. （10分）已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )。
（1）求 ( f(x) ) 的单调区间；
（2）求 ( f(x) ) 在区间 ([-2, 2]) 上的最大值和最小值。
（10分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )。
（1）求证：( BD \perp PC )；
（2）求二面角 ( P-BD-A ) 的正切值。（10分）已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )。
（1）求 ( a_n ) 的通项公式；
（2）设 ( b_n = \log_2(a_n + 1) )，求数列 ({b_n}) 的前 ( n ) 项和 ( S_n )。（10分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 )，直线 ( l: y = kx + 2 ) 与椭圆交于 ( A, B ) 两点。
（1）若 ( k = 1 )，求 ( |AB| )；
（2）若以 ( AB ) 为直径的圆经过原点，求 ( k ) 的值。（10分）某工厂生产一种产品，每日固定成本为 2000 元，每生产一件产品成本增加 50 元，产品单价为 80 元。
（1）写出每日利润 ( y )（元）与日产量 ( x )（件）的函数关系；
（2）为获得最大利润，日产量应定为多少？
参考答案
一、选择题
B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B
填空题
9. ({2, 3})
10. (-\frac{4}{5})
11. ((-1, 2))
12. (y = \pm \frac{3}{2}x)
13. 2
14. 20
解答题
15. （1）递增区间：((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))，递减区间：((-1, 1))；
（2）最大值 ( f(-2) = 0 )，最小值 ( f(1) = 0 )。
16. （1）略（利用线面垂直性质）；
（2）正切值为 ( \sqrt{2} )。
17. （1）( a_n = 2^n - 1 )；
（2）( S_n = \frac{n(n+1)}{2} )。
18. （1）( |AB| = \frac{12\sqrt{2}}{7} )；
（2）( k = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} )。
19. （1）( y = 80x - (2000 + 50x) = 30x - 2000 )（( x \geq 0 )）；
（2）日产量越高利润越大，但需考虑市场限制（实际应用需结合定义域分析）。
说明：本试卷基于高中数学第二册电子课本内容设计，涵盖函数、数列、几何、概率统计等核心知识点，适用于综合能力测试。