- 本试卷旨在评估“高中数学网课一对一”辅导模式下的知识掌握与综合应用能力。
- 全卷满分150分,考试时间120分钟。
- 所有答案均需有清晰的解题过程。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
在“一对一”网课中，老师强调了对函数概念的理解，已知函数 ( f(x) = \ln(e^{2x} + 1) - x )，则 ( f(\ln 2) ) 的值为（ ） A. (\ln 3) \quad B. (\ln 5 - \ln 2) \quad C. (\ln 2) \quad D. (\ln \frac{5}{2})
网课老师通过数形结合讲解解析几何,若直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0 ) 交于A, B两点，且 ( |AB| = 2\sqrt{2} )，则实数 ( k ) 的值为（ ） A. ( 0 ) 或 ( \frac{4}{3} ) \quad B. ( -\frac{4}{3} ) 或 ( 0 ) \quad C. ( \frac{4}{3} ) \quad D. ( -\frac{4}{3} )
一对一辅导中,数列的递推关系是重点，已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = an + 2n + 1 )，则 ( a{10} = )（ ） A. 90 \quad B. 100 \quad C. 121 \quad D. 144
概率统计是网课高频模块,将3封不同的信随机投入4个不同的邮箱，则恰好有1个邮箱为空概率为（ ） A. ( \frac{9}{16} ) \quad B. ( \frac{21}{64} ) \quad C. ( \frac{9}{32} ) \quad D. ( \frac{3}{8} )
向量部分老师注重几何意义,已知平面向量 ( \vec{a}, \vec{b} ) 满足 ( |\vec{a}| = 2|\vec{b}| = 2 )，且 ( \vec{a} ) 与 ( \vec{b} - \vec{a} ) 的夹角为 ( \frac{\pi}{3} )，则 ( |\vec{b}| = )（ ） A. ( 1 ) \quad B. ( \sqrt{3} ) \quad C. ( 2 ) \quad D. ( \sqrt{5} )
立体几何网课常借助动态演示,在棱长为2的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点P为侧面 ( BCC_1B_1 ) 内的动点，且 ( D_1P \perp A_1C )，则线段 ( D_1P ) 长度的最小值为（ ） A. ( \frac{\sqrt{6}}{2} ) \quad B. ( \sqrt{2} ) \quad C. ( \frac{2\sqrt{3}}{3} ) \quad D. ( \sqrt{3} )
导数应用是一对一攻坚难点,若函数 ( f(x) = e^x - ax^2 ) 在 ( (0, +\infty) ) 上有两个不同的零点，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (\frac{e}{2}, +\infty) ) \quad B. ( (\frac{e^2}{4}, +\infty) ) \quad C. ( (0, \frac{e^2}{4}) ) \quad D. ( (0, \frac{e}{2}) )
网课老师强调数学建模思想,某实验室培养一种细菌，其数量 ( N(t) )（单位：万个）与时间 ( t )（单位：天）的关系为 ( N(t) = N_0 e^{\lambda t} )，( N_0 ) 为初始数量，( \lambda ) 为常数，若3天后数量为初始数量的2倍，则大约经过（ ）天，数量达到初始数量的10倍。（参考数据：(\ln 2 \approx 0.693, \ln 5 \approx 1.609)） A. 5 \quad B. 7 \quad C. 9 \quad D. 10
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
在一对一复数专项训练中,若复数 ( z ) 满足 ( z \cdot \overline{z} + 2z - 2\overline{z} = 3 )（( \overline{z} ) 为 ( z ) 的共轭复数），则 ( |z| = )__。
网课老师详细讲解了二项式定理的应用,已知 ( (x + \frac{a}{x^2})^6 ) 的展开式中常数项为60，则实数 ( a = )__。
三角函数图像与性质是网课重点,将函数 ( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) ) 的图像向右平移 ( \varphi (0 < \varphi < \pi) ) 个单位后得到偶函数 ( g(x) ) 的图像，则 ( \varphi = )__。
一对一解析几何综合训练中,已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的右焦点为 ( F )，过点 ( F ) 作渐近线的垂线，垂足为 ( H )，且 ( |FH| = \frac{\sqrt{3}}{2} a )，则该双曲线的离心率为__。
解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（本小题满分12分） 在“网课一对一”辅导中，解三角形是常考模块。 在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。 （Ⅰ）求角 ( C ) 的大小； （Ⅱ）若 ( c = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( a + b ) 的值。
（本小题满分14分） 数列的个性化教学是一对一网课的优势。 已知等差数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( a_3 = 5 )，( S_6 = 36 )。 （Ⅰ）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （Ⅱ）若数列 ({b_n}) 满足 ( b_n = \frac{1}{an a{n+1}} )，记 ({b_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( T_n )，求证：( T_n < \frac{1}{2} )。
（本小题满分15分） 立体几何网课常利用三维软件辅助讲解。 如图，在三棱锥 ( P-ABC ) 中，( PA \perp ) 平面 ( ABC )，( \angle ABC = 90^\circ )，( D, E ) 分别是 ( PB, PC ) 的中点，且 ( PA = AB = BC = 2 )。 （Ⅰ）求证：( BC \perp ) 平面 ( PAB )； （Ⅱ）求二面角 ( A-DE-C ) 的正弦值。
（本小题满分15分） 概率统计是网课互动讨论较多的部分。 某高中数学网课平台进行一对一教学效果调研，从大量学员中随机抽取100名，统计其在一段课程学习后的数学周测成绩（满分100分），并按照 ([50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]) 分组，绘制成如下频率分布直方图。 （Ⅰ）求频率分布直方图中 ( a ) 的值，并估计这100名学员周测成绩的平均数（同一组数据用该组区间中点值代表）； （Ⅱ）平台规定成绩不低于80分为“学习效果显著”，现按“学习效果显著”与否用分层抽样的方法从这100名学员中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行深度访谈，设抽取的3人中“学习效果显著”的人数为 ( X )，求 ( X ) 的分布列与数学期望。 （注：假设频率分布直方图中数据已给出具体频率，此处为命题框架，具体数值在答案中补全。）
（本小题满分17分） 函数与导数的综合应用是一对一网课的核心难点。 已知函数 ( f(x) = \ln x - \frac{1}{2}ax^2 + (a-1)x )，( a \in \mathbb{R} )。 （Ⅰ）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （Ⅱ）若 ( a = 1 )，求证：( f(x) \leq \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} ) 对任意 ( x > 0 ) 恒成立。
（本小题满分17分） 解析几何压轴题是网课一对一突破的关键。 已知椭圆 ( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( P(2, 0) )。 （Ⅰ）求椭圆 ( E ) 的标准方程； （Ⅱ）设过点 ( Q(1, 0) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( E ) 交于 ( M, N ) 两点（异于点 ( P )），记直线 ( PM, PN ) 的斜率分别为 ( k_1, k_2 )，试探究：是否存在实数 ( \lambda )，使得 ( k_1 + k_2 = \lambda k_1 k_2 ) 恒成立？若存在，求出 ( \lambda ) 的值；若不存在，请说明理由。
2025年高中数学网课一对一辅导效果评估测试卷参考答案
选择题
D \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. C \quad 5. B \quad 6. C \quad 7. B \quad 8. D
填空题9. ( \sqrt{3} ) \quad 10. ( \pm 1 ) \quad 11. ( \frac{5\pi}{12} ) \quad 12. ( 2 )
解答题13. （Ⅰ）由正弦定理及已知条件化简可得 ( \cos C = \frac{1}{2} )，又 ( C \in (0, \pi) )，故 ( C = \frac{\pi}{3} )。 （Ⅱ）由面积公式 ( S = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{3} ) 得 ( ab = 4 )。 由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C )，代入得 ( 12 = a^2 + b^2 - 4 )，即 ( a^2 + b^2 = 16 )。 ( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 16 + 8 = 24 )，故 ( a+b = 2\sqrt{6} )。
（Ⅰ）设公差为 ( d )，由 ( a_3 = a_1 + 2d = 5 )，( S_6 = 6a_1 + 15d = 36 )， 解得 ( a_1 = 1, d = 2 )，故 ( a_n = 2n - 1 )。 （Ⅱ）( b_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) )。 ( T_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) < \frac{1}{2} )。
（Ⅰ）证明略（利用线面垂直判定定理）。 （Ⅱ）以 ( B ) 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面 ( ADE ) 与平面 ( CDE ) 的法向量，利用向量夹角公式得二面角的余弦值，再求正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )。
（Ⅰ）假设频率分布直方图中各小组频率分别为：0.05, 0.20, 0.35, 0.30, 0.10，则 ( a = 0.035 )。 平均数为 ( 55\times0.05 + 65\times0.20 + 75\times0.35 + 85\times0.30 + 95\times0.10 = 77.5 )。 （Ⅱ）由题意，“学习效果显著”人数为 ( 100 \times (0.30+0.10) = 40 ) 人。 抽取比 ( \frac{10}{100} = \frac{1}{10} )，故抽取的10人中，“效果显著”有 ( 40 \times \frac{1}{10} = 4 ) 人，非显著6人。 ( X ) 的可能取值为 0, 1, 2, 3。 ( P(X=0) = \frac{C6^3}{C{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} )， ( P(X=1) = \frac{C_4^1 C6^2}{C{10}^3} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} )， ( P(X=2) = \frac{C_4^2 C6^1}{C{10}^3} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} )， ( P(X=3) = \frac{C4^3}{C{10}^3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} )。 分布列略，数学期望 ( E(X) = 0\times\frac{1}{6} + 1\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{3}{10} + 3\times\frac{1}{30} = 1.2 )。
（Ⅰ）( f'(x) = \frac{1}{x} - ax + (a-1) = \frac{-ax^2 + (a-1)x + 1}{x} )，定义域 ( (0, +\infty) )。 讨论 ( a ) 的符号，判断 ( f'(x) ) 的零点，从而得单调区间（略）。 （Ⅱ）当 ( a=1 ) 时，( f(x) = \ln x - \frac{1}{2}x^2 )。 令 ( h(x) = f(x) - (\frac{x^2}{2} - \frac{3}{2}) = \ln x - x^2 + \frac{3}{2} )。 求导得 ( h'(x) = \frac{1}{x} - 2x = \frac{1-2x^2}{x} )，令 ( h'(x)=0 ) 得 ( x = \frac{\sqrt{2}}{2} )。 当 ( 0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2} ) 时，( h'(x) > 0 )，( h(x) ) 单调递增；当 ( x > \frac{\sqrt{2}}{2} ) 时，( h'(x) < 0 )，( h(x) ) 单调递减。 ( h(x)_{\text{max}} = h(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \ln \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \ln \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{1}{2}\ln 2 < 1 - 0 = 1 )，且可验证该最大值小于0，故 ( h(x) \leq 0 )，即原不等式成立。
（Ⅰ）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ) 得 ( a = 2c )，又 ( a^2 = b^2 + c^2 )，故 ( b^2 = 3c^2 )。 椭圆过 ( P(2, 0) )，代入方程得 ( \frac{4}{a^2} = 1 )，( a = 2, c = 1, b = \sqrt{3} )。 椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。 （Ⅱ）当直线 ( l ) 斜率不存在时，( l: x=1 )，与椭圆交于 ( M(1, \frac{3}{2}), N(1, -\frac{3}{2}) )， 计算得 ( k_1 + k_2 = -2 )，( k_1 k_2 = -\frac{3}{4} )，( \lambda = \frac{k