选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { 0, 2, 4 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ({0, 2}) \quad B. ({2}) \quad C. ({0, 2, 4}) \quad D. ({0, 1, 2})
命题“( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \geq 2x )”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad B. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 < 2x ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 \geq 2x )
函数 ( f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x-1} ) 的定义域为（ ） A. ([-2, 1) \cup (1, +\infty)) \quad B. ((-2, 1) \cup (1, +\infty)) C. ([-2, +\infty)) \quad D. ((-2, +\infty))
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{a}{b} > 1 ) \quad C. ( \ln(a-b) > 0 ) \quad D. ( 2^a > 2^b )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 5 \quad B. 2 \quad C. 1 \quad D. 0
设 ( a = 0.8^{0.7} )，( b = 0.7^{0.8} )，( c = 1.1^{0.8} )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( c > a > b ) \quad B. ( a > b > c ) \quad C. ( b > a > c ) \quad D. ( c > b > a )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) \quad B. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) C. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) ) \quad D. ( (-2, 0) \cup (0, 2) )
某食品的保鲜时间 ( y )（单位：小时）与储藏温度 ( x )（单位：℃）满足函数关系 ( y = e^{kx+b} )（( e ) 为自然对数的底数，( k, b ) 为常数），若该食品在 0℃ 时的保鲜时间为 192 小时，在 20℃ 时的保鲜时间为 24 小时，则该食品在 30℃ 时的保鲜时间约为（参考数据：( \ln 2 \approx 0.693 )）（ ） A. 12 小时 \quad B. 10 小时 \quad C. 8 小时 \quad D. 6 小时
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列函数中，在区间 ( (0, 1) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = |x-1| ) \quad B. ( y = \sqrt{x} ) \quad C. ( y = \frac{1}{x} ) \quad D. ( y = x^2 - 2x )
下列说法正确的是（ ） A. “( x > 2 )” 是 “( x > 3 )” 的必要不充分条件 B. 函数 ( y = \frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}} ) 的最小值为 2 C. 当 ( x < \frac{5}{4} ) 时，函数 ( y = 4x - 2 + \frac{1}{4x-5} ) 的最大值为 -1 D. 若 ( a > 0, b > 0 )，且 ( a + b = 1 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值为 4
已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且 ( f(x+y) = f(x) + f(y) - 1 ) 对任意实数 ( x, y ) 都成立，( f(1) = 3 )，则下列说法正确的有（ ） A. ( f(0) = 1 ) B. ( f(x) ) 是奇函数 C. 若 ( f(2x) > f(x+1) + 2 )，则 ( x > 1 ) D. 函数 ( g(x) = f(x) - 1 ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的增函数
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
已知 ( a > 0 )，( b > 0 )，且 ( ab = 4 )，则 ( a + 2b ) 的最小值为__，( a = )__。
已知函数 ( f(x) = \log_2(x^2 - ax + 3a) ) 在区间 ( [2, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( ( \complement_U A ) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x \mid x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（15分）已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 - (a+1)x + 1 < 0 )。 （1）当 ( a = 2 ) 时，解此不等式； （2）当 ( a \in \mathbb{R} ) 时,解此不等式。
（17分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的消耗量，经测算，企业拟安装一种可使用10年的净水设备，设备的购置费（一次性支出）为 ( \frac{20}{x} ) 万元，设备安装后需每年支出维护保养费 ( C(x) ) 万元，( C(x) = \frac{1}{2}x + 0.5 )，( x ) 为该设备每日可净化的污水量（单位：百吨），该设备使用过程中产生的收益（每年）( R(x) )（万元）( x ) 的函数关系为 ( R(x) = 5 - \frac{1}{x} )（( x > 0 )），假设该企业每年的净收益 = 年收益 - 年维护保养费。 （1）求该企业安装使用该设备后，每年的净收益 ( y )（万元）( x ) 的函数关系式； （2）该设备每日净化污水量为多少时，企业10年的总净收益最大？并求出这个最大值。（总净收益 = 10年净收益之和 - 购置费）
（17分）已知函数 ( f(x) = \log_4(4^x + 1) + kx )（( k \in \mathbb{R} )）是偶函数。 （1）求实数 ( k ) 的值； （2）若方程 ( f(x) = m ) 有实数解，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设函数 ( g(x) = \log_4(a \cdot 2^x - \frac{4}{3}a) )，( a > 0 )，若函数 ( f(x) ) 与 ( g(x) ) 的图象有且只有一个公共点，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年新教材高中数学必修一综合测试卷参考答案
选择题
A \quad 2. C \quad 3. A \quad 4. D \quad 5. B \quad 6. A \quad 7. A \quad 8. C
多选题9. BD \quad 10. ACD \quad 11. ACD
填空题12. 1 \quad 13. ( 4\sqrt{2} )；( 2\sqrt{2} ) \quad 14. ( (-4, 4] )
解答题15. 解： （1）( A \cup B = { x \mid 3 \leq x \leq 10 } )。 ( \complement_U A = { x \mid x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )， ( ( \complement_U A ) \cap B = { x \mid 7 \leq x \leq 10 } )。 （2）因为 ( B \cap C = \varnothing )，且 ( B = { x \mid 4 < x \leq 10 } )，( C = { x \mid x > a } )， ( a \geq 10 )。 故实数 ( a ) 的取值范围是 ( [10, +\infty) )。
解： （1）函数 ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{(2x_1-1)(x_2+1) - (2x_2-1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)} ) ( = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 因为 ( x_1, x_2 > 1 )，( x_1+1 > 0, x_2+1 > 0 )，又 ( x_1 < x_2 )，( x_1 - x_2 < 0 )。 故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x2) )。 ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 （2）由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增。 ( f(x){\text{min}} = f(2) = 1 )，( f(x)_{\text{max}} = f(5) = \frac{3}{2} )。 故函数 ( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上的值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
解： （1）当 ( a = 2 ) 时，不等式为 ( 2x^2 - 3x + 1 < 0 )，即 ( (2x-1)(x-1) < 0 )。 解得 ( \frac{1}{2} < x < 1 )，所以解集为 ( (\frac{1}{2}, 1) )。 （2）原不等式可化为 ( (ax-1)(x-1) < 0 )。 ① 当 ( a = 0 ) 时，不等式为 ( -(x-1) < 0 )，解得 ( x > 1 )。 ② 当 ( a > 0 ) 时，方程 ( (ax-1)(x-1)=0 ) 的两根为 ( x_1 = \frac{1}{a} )，( x_2 = 1 )。 若 ( a > 1 )，则 ( \frac{1}{a} < 1 )，解集为 ( (\frac{1}{a}, 1) )。 若 ( a = 1 )，则不等式为 ( (x-1)^2 < 0 )，解集为 ( \varnothing )。 若 ( 0 < a < 1 )，则 ( \frac{1}{a} > 1 )，解集为 ( (1, \frac{1}{a}) )。 ③ 当 ( a < 0 ) 时，( \frac{1}{a} < 1 )，不等式解集为 ( (-\infty, \frac{1}{a}) \cup (1, +\infty) )。 （略，需按上述情况写出最终并集形式）。
解： （1）由题意，年净收益 ( y = R(x) - C(x) = (5 - \frac{1}{x}) - (\frac{1}{2}x + 0.5) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{x} + 4.5 )（( x > 0 )）。 （2）设10年总净收益为 ( F(x) )（万元）。 ( F(x) = 10y - \frac{20}{x} = 10(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{x} + 4.5) - \frac{20}{x} = -5x - \frac{10}{x} - \frac{20}{x} + 45 = -5x - \frac{30}{x} + 45 )。 因为 ( x > 0 )，( 5x + \frac{30}{x} \geq 2\sqrt{5x \cdot \frac{30}{x}} = 10\sqrt{6} )（当且仅当 ( 5x = \frac{30}{x} )，即 ( x = \sqrt{6} ) 时取等号）。 ( F(x) \leq -10\sqrt{6} + 45 )。 故当设备每日净化污水量为 ( \sqrt{6} ) 百吨时，企业10年总净收益最大，最大值为 ( (45 - 10\sqrt{6}) ) 万元。
解： （1）因为 ( f(x) ) 是偶函数，( f(-x) = f(x) ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 成立。 ( \log_4(4^{-x}+1) - kx = \log_4(4^x+1) + kx )。 即 ( 2kx = \log_4(4^{-x}+1) - \log_4(4^x+1) = \log_4(\frac{4^{-x}+1}{4^x+1}) = \log_4(4^{-x}) = -x )。 ( 2k = -1 )，解得 ( k = -\frac{1}{2} )。 （2）由（1）知，( f(x) = \log_4(4^x+1) - \frac{x}{2} = \log_4(4^x+1) - \log_4(2^x) = \log_4(\frac{4^x+1}{2^x}) = \log_4(2^x + 2^{-x}) )。 因为 ( 2^x + 2^{-x} \geq 2 )（当且仅当 ( x=0 ) 时取等号），( f(x) \geq \log_4 2 = \frac{1}{2} )。 故若方程 ( f(x) = m ) 有实数解，则 ( m \geq \frac{1}{2} )，即 ( m ) 的取值范围是 ( [\frac{1}{2}, +\infty) )。 （3）由题意，方程 ( \log_4(2^x + 2^{-x}) = \log_4(a \cdot