（满分：100分， 时间：60分钟）
班级：__姓名：__得分：__
选择题（每题3分，共15分）
下列公式中，属于完全平方公式的是（ ） A. ( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ) B. ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ) C. ( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ) D. ( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) )
一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) ) 的求根公式是（ ） A. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) B. ( x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) C. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a} ) D. ( x = b^2 - 4ac )
在直角三角形中，两直角边长为 ( a, b )，斜边长为 ( c )，则下列关系恒成立的是（ ） A. ( a^2 + b^2 = c^2 ) B. ( a^2 + c^2 = b^2 ) C. ( \angle A + \angle B = 90^\circ ) D. ( a + b > c )
已知圆的半径为 ( r )，则其面积 ( S ) 和周长 ( C ) 的公式分别是（ ） A. ( S = \pi r^2, \quad C = 2\pi r ) B. ( S = 2\pi r, \quad C = \pi r^2 ) C. ( S = \frac{1}{2}\pi r^2, \quad C = \pi r ) D. ( S = 4\pi r^2, \quad C = \pi r )
若直线 ( y = kx + b ) 平行于直线 ( y = 2x - 3 )，则（ ） A. ( k = 2 ) B. ( k = -3 ) C. ( k = -2 ) D. ( k = 2, b = -3 )
填空题（每空2分，共30分）
- 平方差公式：( a^2 - b^2 = )__。
- 立方和公式：( a^3 + b^3 = )__。
- 二次函数 ( y = ax^2 + bx + c ) 的顶点坐标公式是（__，__）。
- 扇形面积公式（圆心角 ( n^\circ )，半径 ( r )）：( S_{扇形} = )__或 ( S_{扇形} = )__（用弧长 ( l ) 表示）。
- 三角形面积公式（底为 ( a )，高为 ( h )）：( S_{\triangle} = )__；若已知两边 ( a, b ) 及其夹角 ( C )，则 ( S_{\triangle} = )__。
- 等差数列通项公式：( a_n = )__；前 ( n ) 项和公式：( S_n = )__或 ( S_n = )__。
- 比例的基本性质：若 ( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} )，则 ( ad = )__。
- 直线 ( y = kx + b ) 中，( k ) 表示直线的__，( b ) 表示直线的__。
- 两点 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) ) 间的距离公式：( AB = )__。
判断题（每题2分，共10分）
- ( \sin 30^\circ = \cos 60^\circ )。（ ）
- 任意一个数的绝对值都是正数。（ ）
- 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。（ ）
- 方差越大，表示数据的波动越小。（ ）
- 三角形的内角和恒为 ( 180^\circ )。（ ）
简答与计算题（共45分）
（8分）请写出韦达定理（即根与系数的关系）的内容，对于方程 ( 2x^2 - 6x + 4 = 0 )，不解方程,直接求出其两根之和与两根之积。
（10分）请默写出以下公式： (1) 弧长公式（圆心角 ( n^\circ )，半径 ( r )）：( l = )__。 (2) 圆柱的体积公式（底面半径 ( r )，高 ( h )）：( V = )__。 (3) 圆锥的侧面积公式（母线长 ( l )，底面半径 ( r )）：( S_{侧} = )__。 (4) 平均数公式（数据 ( x_1, x_2, ..., x_n )）：( \bar{x} = )__。 (5) 方差公式：( s^2 = )__。
（12分）公式推导与应用。 (1) （6分）请利用图形或代数方法，推导出完全平方公式 ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )。 (2) （6分）已知 ( x + \frac{1}{x} = 3 )，利用完全平方公式求 ( x^2 + \frac{1}{x^2} ) 的值。
（15分）综合应用。 某小区计划修建一个矩形花园，一面靠墙（墙长足够），另外三面用栅栏围成，现有栅栏总长度为40米。 (1) （5分）设花园垂直于墙的一边长为 ( x ) 米，请用含 ( x ) 的代数式表示花园的面积 ( S )（平方米）。 (2) （5分）请写出(1)中面积 ( S ) 与边长 ( x ) 之间的二次函数关系式，并指出其顶点坐标。 (3) （5分）根据公式，求出当 ( x ) 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
初中数学核心公式掌握度测试卷（2025）参考答案
选择题
- B
- A
- A （解析：C和D虽然也成立，但C是角度关系，D是三角形三边关系，题目问的是“边长的关系”，且特指勾股定理,故选A）
- A
- A
填空题6. ( (a+b)(a-b) ) 7. ( (a+b)(a^2 - ab + b^2) ) 8. ( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) ) 9. ( \frac{n}{360}\pi r^2 )； ( \frac{1}{2}lr ) 10. ( \frac{1}{2}ah )； ( \frac{1}{2}ab\sin C ) 11. ( a_1 + (n-1)d )； ( \frac{n(a_1 + a_n)}{2} )； ( na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d ) 12. ( bc ) 13. 斜率；在y轴上的截距 14. ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} )
判断题15. √ 16. × （解析：0的绝对值是0，不是正数） 17. √ 18. × （解析：方差越大，波动越大） 19. √
简答与计算题20. 韦达定理：对于一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) )，若有两根 ( x_1, x_2 )，则 ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )， ( x_1 x_2 = \frac{c}{a} )。 对于方程 ( 2x^2 - 6x + 4 = 0 )， ( a=2, b=-6, c=4 )。 两根之和：( x_1 + x_2 = -\frac{(-6)}{2} = 3 )。 两根之积：( x_1 x_2 = \frac{4}{2} = 2 )。
(1) ( l = \frac{n}{360} \cdot 2\pi r ) (2) ( V = \pi r^2 h ) (3) ( S_{侧} = \pi r l ) (4) ( \bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + ... + x_n) ) (5) ( s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2] )
(1) 推导（代数法）： ( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 )。 （图形法：边长为 ( a+b ) 的大正方形，可分割为边长为 ( a ) 和 ( b ) 的两个小正方形及两个长 ( a )、宽 ( b ) 的矩形，面积相等。） (2) 解：( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 )。
(1) 垂直于墙的一边为 ( x ) 米，则平行于墙的一边为 ( (40 - 2x) ) 米。 面积 ( S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x )。 (2) 函数关系式为：( S = -2x^2 + 40x )。 化为顶点式：( S = -2(x^2 - 20x) = -2[(x-10)^2 - 100] = -2(x-10)^2 + 200 )。 顶点坐标为 ( (10, 200) )。 (3) 由顶点坐标可知，当 ( x = 10 ) 米时，花园的面积最大，最大面积为 ( 200 ) 平方米。
试卷说明：本试卷旨在考查对初中数学核心公式的记忆、理解和应用能力，建议学生将错题对应的公式整理到个人的“数学公式大全”笔记中，定期复习,并可将完整版笔记打印出来以备查用。