（考试时间：100分钟 满分：120分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. √12 B. √(1/3) C. √7 D. √0.5
下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 1, 2, 3 B. 3, 4, 5 C. 4, 5, 6 D. 6, 7, 8
在平行四边形ABCD中，∠A:∠B = 2:1，则∠C的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
一次函数 y = -2x + 3 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，成绩的平均数相同，方差分别为 S²_甲 = 0.8， S²_乙 = 1.2，则射击成绩更稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样稳定 D. 无法确定
下列计算正确的是（ ） A. √2 + √3 = √5 B. 3√2 - √2 = 3 C. √(2²+3²) = 2+3 D. √8 ÷ √2 = 2
将直线 y = 2x - 1 向上平移3个单位长度，平移后的直线解析式为（ ） A. y = 2x + 2 B. y = 2x - 4 C. y = 5x - 1 D. y = 2x + 3
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB = 60°，AB=4，则对角线AC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 4√3
某校八年级有13名同学参加植树活动，他们的植树数量各不相同，已知其中一名同学植了18棵，但他要补种到20棵，若此时他们植树数量的中位数和众数保持不变，则这13名同学植树数量的平均数将（ ） A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 无法确定
如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，DE，已知AE=3，BE=4√2，DE=5，则正方形ABCD的面积为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
- 若二次根式 √(x-2) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__。
- 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB上的高CD =__。
- 已知一组数据：4， 6， x， 7， 9的平均数是7，则这组数据的方差是__。
- 若正比例函数 y = (k-1)x 的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是__。
- 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长是__。
- 在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，点B(5, 6)，点P在x轴上，则PA+PB的最小值为__。
解答题（本大题共8小题，共72分）
（8分）计算： (1) (√48 - 3√27) ÷ √3 (2) (√5 + √2)(√5 - √2) - (√3 - 1)²
（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E，F分别在边BC，AD上，且AF=CE。 求证：四边形AECF是平行四边形。
（8分）已知一次函数的图象经过点A(0, -2)和点B(3, 4)。 (1) 求这个一次函数的解析式。 (2) 求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
（8分）某校初二体育期末测试中，男子1000米跑成绩如下（单位：分·秒）： 4‘20“， 4‘05“， 3‘55“， 4‘15“， 4‘10“， 3‘50“， 4‘00“， 4‘25“， 3‘45“， 4‘30“。 (1) 求这组数据的平均成绩。（结果化为“分·秒”形式） (2) 若成绩在4‘05“以内（含4‘05“）为优秀,试估计全年级200名男生中能达到优秀的人数大约有多少？
（8分）如图，某中学有一块四边形空地ABCD，为了绿化环境，学校计划在这块空地上种植草坪，经测量，∠B=90°，AB=20米，BC=15米，CD=7米，AD=24米。 (1) 连接AC，求AC的长。 (2) 判断△ACD的形状，并说明理由。 (3) 求这块空地ABCD的面积。
（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，动点P从点A出发，沿边AD向点D以1cm/s的速度运动；动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒（0 < t < 2）。 (1) 用含t的代数式表示：AP =__cm， CQ =__cm。 (2) 连接PQ，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (3) 连接PC，AQ，是否存在某一时刻t，使得PC⊥AQ？若存在，求出t的值；若不存在,请说明理由。
（10分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种计时工具，小明同学尝试用函数知识模拟水位随时间的变化。 【实验数据】在一个匀速漏水的容器中，记录了时间t（小时）与剩余水量V（升）的部分对应值：
t（小时） 0 1 2 3 V（升） 20 18 16 14 (1) 请建立V关于t的函数解析式。 (2) 求容器漏完水所需的总时间。 (3) 若在漏水过程中，从第a小时开始匀速向容器内注水，每小时注入2升，使得总水量保持不变,求a的值。
（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l₁: y = (1/2)x + 2 与x轴、y轴分别交于点A、B。 (1) 求点A，B的坐标。 (2) 将直线 l₁ 绕点B逆时针旋转90°得到直线 l₂，求直线 l₂ 的解析式。 (3) 已知点C在x轴上，点D在直线 l₂ 上，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标。
2025年初二年级数学学科期末测试卷（参考答案）
选择题
C 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. A 8. C 9. A 10. B
填空题11. x ≥ 2 12. 4.8 13. 4 14. k < 1 15. 20 16. 4√5
解答题17. (1) 解：原式 = (4√3 - 9√3) ÷ √3 = (-5√3) ÷ √3 = -5 (2) 解：原式 = (5 - 2) - (3 - 2√3 + 1) = 3 - (4 - 2√3) = 3 - 4 + 2√3 = 2√3 - 1
证明：∵ AB=CD， AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。∴ AD∥BC。 ∵ AF=CE，且F在AD上，E在BC上，AD∥BC，∴ AF平行且等于CE。 ∴ 四边形AECF是平行四边形。
解：(1) 设解析式为 y = kx + b，将A(0, -2)，B(3, 4)代入得： b = -2， 3k + b = 4，解得 k=2， b=-2。∴ 函数解析式为 y = 2x - 2。 (2) 令y=0，则x=1。∴ 图象与x轴交于点(1, 0)，与y轴交于点(0, -2)。 ∴ 围成的三角形面积 S = (1/2) × |1| × |-2| = 1。
解：(1) 先将所有成绩化为秒：260， 245， 235， 255， 250， 230， 240， 265， 225， 270。 平均秒数 = (260+245+235+255+250+230+240+265+225+270) ÷ 10 = 2475 ÷ 10 = 247.5秒 = 4‘07.5“。 ∴ 平均成绩为4‘07.5“。 (2) 优秀成绩（≤245秒）有：245， 235， 230， 240， 225，共5个。 优秀率 = 5/10 = 50%。 估计全年级优秀人数约为 200 × 50% = 100（人）。
解：(1) ∵ ∠B=90°，AB=20，BC=15，∴ AC = √(20²+15²) = √625 = 25（米）。 (2) 在△ACD中，AC=25， CD=7， AD=24。 ∵ 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²，即 CD² + AD² = AC²。 ∴ △ACD是直角三角形，∠D=90°。 (3) S四边形ABCD = S△ABC + S_△ACD = (1/2)×AB×BC + (1/2)×CD×AD = (1/2)×20×15 + (1/2)×7×24 = 150 + 84 = 234（平方米）。
解：(1) AP = t cm； CQ = BC - BQ = (4 - 2t) cm。 (0 < t < 2) (2) 当AP = BQ时，四边形ABQP是矩形，即 t = 2t，解得 t=0（舍去），此情况不成立。 在矩形ABCD中，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP已是平行四边形，只需∠A=90°即为矩形，但AP始终等于t，BQ=2t，两者不可能相等，只有当点P与D重合，点Q与C重合时，四边形ABQP才可能是矩形，但此时t=4（超出范围），故在0<t<2内，四边形ABQP不可能是矩形。（注：本题设置可能存疑，更合理的四边形可能是ABQP或PCDQ，若意图是问“四边形ABQP为平行四边形”，则条件为AP=BQ，即t=2t，t=0舍，故不存在，常见题型为“四边形APQB为矩形”，此时需∠A=90°，且AP=BQ，同样无解，建议修改条件或问题。）(3) 建立坐标系：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，则P(0, t)， C(8, 4)， A(0,0)， Q(8, 2t)。（B(8,0)， D(0,4)） 向量PC = (8, 4-t)， 向量AQ = (8, 2t)。 若PC⊥AQ，则 88 + (4-t)(2t) = 0 => 64 + 8t - 2t² = 0 => t² - 4t - 32 = 0 => (t-8)(t+4)=0。 解得 t=8 或 t=-4，均不在 0 < t < 2 范围内。∴ 不存在这样的时刻t。
解：(1) 由表可知，V随t均匀减少，每小时减少2升，设 V = kt + b。 将(0,20)， (1,18)代入得：b=20， k+b=18，解得k=-2。∴ V = -2t + 20。 (2) 令V=0，则 -2t + 20 = 0，解得 t=10。∴ 漏完水需10小时。 (3) 从第a小时开始，漏水的同时注水，净减少速度为0（总水量不变）。 即原漏水速度（2升/小时） = 注水速度（2升/小时）。∴ 从第a小时起，水量不变。 要使总水量一直保持不变，需从初始时刻就开始注水，抵消漏水，但题目说“从第a小时开始”，意味着在a小时之前，水量在减少，若要求之后总水量不变，则需满足：在第a小时的那一刻，开始注水，使得之后任意时刻水量等于第a小时的水量。 第a小时的水量 V_a = 20 - 2a。 从第a小时开始，每小时净变化为 -2 + 2 = 0，所以水量将恒为 V_a。 但题目说“使得总水量保持不变”，通常理解为从开始到结束水量恒定，这不可能，因为开始有漏水，故合理理解为：从第a小时开始，水位停止下降，保持为 V_a。 在a时刻之后，漏水量=注水量，即2=2，恒成立，所以a可以是任何满足 0 ≤ a ≤ 10 的数。（注：此问逻辑需斟酌，更合理的解释是：若要求从开始到10小时结束，总水量始终是初始的20升，则必须从t=0就开始以2升/小时注水，若从a小时开始注水，则只能保证从a小时后水量不变，但a之前的水量已减少，a的值取决于“总水量保持不变”如何定义，若定义为“最终漏完水时总过程结束”，则无法保持；若定义为“从a时刻起水量不变”，则a为任意值，常见题型是求a使整个过程（0到10小时）容器不空或恰好漏完，此处存疑。）参考答案（一种可能）：若要求容器永远不会空，且从a小时开始水位不下降，则需在刚好漏完前开始注水，即 20 - 2a > 0，且之后保持此水量，但“总水量保持不变”可能指系统总输入输出平衡，则a=0，结合题意，可能预期答案为 a=5（让一半时间漏水，一半时间补水维持平衡），但原题数据不足以确定唯一a。建议修改为：若要求在第10小时时，容器内水量恰好回到20升，求a。则：从a小时到10小时，注水时间为(10-a)小时，注水量为2(10-a)，整个10小时漏水量为20升，由水量平衡：初始20 - 漏掉20 + 注入2(10-a) = 最终20，解得 20 - 20 + 20 - 2a = 20 => 20 - 2a = 20 => a=0，此即需从一开始就注水。 综上，原题第(3)问条件不明确，参考答案暂定为 a=0。
解：(1) 令y=0，得 0 = (1/2)x + 2， x = -4。∴ A(-4, 0)。 令x=0，得 y=2。∴ B(0, 2)。 (2) 将直线 l₁ 绕点B逆时针旋转90°，则 l₂ 垂直于 l₁。 l₁ 斜率 k1 = 1/2，故 l₂ 斜率 k2 = -1/k1 = -2。 又 l₂ 过点B(0, 2)，∴ l₂ 解析式为 y = -2x + 2。 (3) 情况一：以AB为对角线，则AB中点也是CD中点。 AB中点 M((-4+0)/2, (0+2)/2) = (-2, 1)。 设C(c, 0)， D(m, -2m+2)，由中点公式：(c+m)/2 = -2， (0+(-2m+2))/2 = 1。 解得 m=0， c=-4。∴ D(0, 2)， 此时C(-4,0)与A重合，四边形退化为线段，舍去或不计。 情况二：以AC为对角线，则AC中点也是BD中点。 A(-4,0)， C(c,0)， 中点 ((-4+c)/2, 0)。 B(0,2)， D(m, -2m+2)。 有 ((-4+c)/2, 0) = ((0+m)/2, (2+(-2m+2))/2)。 得： (-4+c)/2 = m/2，