注意事项：
- 本试卷满分150分,考试时间120分钟。
- 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 所有答案必须写在答题卡指定区域内,写在试卷上无效。
- 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）
实数 -3 的相反数是（ ）
A. 3
B. -3
C. (\frac{1}{3})
D. (-\frac{1}{3})下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形
B. 平行四边形
C. 正五边形
D. 正方形2025年5月,某市空气质量为优的天数占全月的60%，则“空气质量为优”是（ ）
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 随机事件
D. 无法确定计算 ((-2a^2)^3) 的结果是（ ）
A. (-8a^6)
B. (8a^6)
C. (-6a^5)
D. (6a^5)如图,直线 (a \parallel b)，∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A. 35°
B. 55°
C. 125°
D. 135°不等式组 (\begin{cases} 2x - 1 \le 3 \ x + 2 > 0 \end{cases}) 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
已知一组数据：4，5，6，6，7，8，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数是6
B. 中位数是6
C. 众数是6
D. 方差是4若关于 (x) 的一元二次方程 (x^2 - 2x + m = 0) 有两个不相等的实数根，则 (m) 的取值范围是（ ）
A. (m > 1)
B. (m < 1)
C. (m \ge 1)
D. (m \le 1)如图,在 (\triangle ABC) 中，(AB=AC)，以点 (B) 为圆心，(BC) 长为半径画弧，交 (AC) 于点 (D)，连接 (BD)，若 (∠A=40°)，则 (∠CBD) 的度数为（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°如图,正方形 (ABCD) 的边长为4，点 (E) 是 (BC) 边的中点，连接 (AE)，将 (\triangle ABE) 沿 (AE) 翻折得到 (\triangle AFE)，延长 (EF) 交 (CD) 于点 (G)，则 (DG) 的长为（ ）
A. 1
B. (\frac{4}{3})
C. (\frac{3}{2})
D. 2
填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
分解因式：(x^2y - 4y =)____。
2025年“五一”假期，全国国内旅游出游约295000000人次，将数据295000000用科学记数法表示为____。
一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是____。
已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是____(cm^2)（结果保留 (\pi)）。
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数和羊价各是多少？设合伙人数为 (x)，羊价为 (y) 钱，根据题意可列方程组为____。
如图,在平面直角坐标系 (xOy) 中，点 (A) 在反比例函数 (y=\frac{k}{x}(k>0, x>0)) 的图象上，(AB \perp x) 轴于点 (B)，(C) 是 (OB) 的中点，连接 (AC) 并延长交 (y) 轴于点 (D)，若 (\triangle AOD) 的面积为6，则 (k) 的值为____。
解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（8分）计算：
(\sqrt{9} - (2025 - \pi)^0 + | -2 | + (\frac{1}{2})^{-1})。（8分）先化简，再求值：
((1 - \frac{1}{a+1}) \div \frac{a}{a^2 - 1})，(a = \sqrt{2} - 1)。（8分）如图，点 (E)，(F) 分别在菱形 (ABCD) 的边 (BC)，(CD) 上，且 (BE = DF)。
求证：(∠BAE = ∠DAF)。（8分）为落实“双减”政策，某校开展“书香校园”活动，计划购买一批图书，已知购买2本文学书和3本科普书共需140元，购买4本文学书和1本科普书共需170元，文学书和科普书的单价分别是多少元？
（8分）如图，在 (\triangle ABC) 中，(∠C=90°)。
（1）尺规作图：作 (∠A) 的平分线，交 (BC) 于点 (D)（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若 (AC=6)，(AB=10)，求 (CD) 的长。（10分）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频数分布表| 分数段 | 频数 | 频率 | |---|---|---| | 50.5~60.5 | 16 | 0.08 | | 60.5~70.5 | 40 | 0.20 | | 70.5~80.5 | 50 | 0.25 | | 80.5~90.5 | (m) | 0.35 | | 90.5~100.5 | 24 | (n) | | 合计 | (N) | 1.00 |
（1）本次抽取的学生人数 (N =)____，(m =)____，(n =)____；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，请估计全校获得优秀等级的学生人数。
（10分）如图，(AB) 是 (⊙O) 的直径，点 (C) 是 (⊙O) 上一点，(∠CAB) 的平分线 (AD) 交 (⊙O) 于点 (D)，过点 (D) 作 (DE \perp AC)，交 (AC) 的延长线于点 (E)。
（1）求证：(DE) 是 (⊙O) 的切线；
（2）若 (AB=10)，(AC=6)，求 (DE) 的长。（12分）在平面直角坐标系 (xOy) 中，已知抛物线 (y = ax^2 + bx + 2) 经过点 (A(1, 3)) 和点 (B(2, 4))。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 (P(m, n)) 是抛物线上一点，当 (1 \le m \le 3) 时，求 (n) 的最大值和最小值；
（3）平移该抛物线，使其顶点在直线 (y = x - 1) 上运动，设平移后的抛物线与 (y) 轴交于点 (C)，若平移后的抛物线与线段 (OB)（(O) 为坐标原点）有且只有一个公共点，请直接写出平移后抛物线顶点横坐标的取值范围。（14分）在 (\triangle ABC) 中，(∠BAC=90°)，(AB = AC)，点 (D) 是边 (BC) 上一动点（不与点 (B)，(C) 重合），连接 (AD)。
（1）如图1，若 (∠BAD=15°)，(BD=2)，求 (CD) 的长；
（2）如图2，将线段 (AD) 绕点 (A) 逆时针旋转90°得到线段 (AE)，连接 (CE)，求证：(CE \perp BC)；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 (DE)，取 (DE) 的中点 (F)，连接 (AF)，探究线段 (AF) 与 (BC) 的数量关系，并说明理由。
2025年初中数学学业水平考试试卷（参考答案）
选择题
- A 2. D 3. C 4. A 5. B
- C 7. D 8. B 9. A 10. B
填空题11. (y(x+2)(x-2))
12. (2.95 \times 10^8)
13. 8
14. (15\pi)
15. (\begin{cases} 5x = y - 45 \ 7x = y - 3 \end{cases})
16. 8
解答题17. 解：原式 (= 3 - 1 + 2 + 2 = 6)。
解：原式 (= \frac{a}{a+1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{a} = a - 1)。
当 (a = \sqrt{2} - 1) 时，原式 (= \sqrt{2} - 2)。证明：∵ 四边形 (ABCD) 是菱形，
∴ (AB = AD)，(∠B = ∠D)。
又 ∵ (BE = DF)，
∴ (\triangle ABE \cong \triangle ADF)（SAS），
∴ (∠BAE = ∠DAF)。解：设文学书单价为 (x) 元，科普书单价为 (y) 元。
依题意：(\begin{cases} 2x + 3y = 140 \ 4x + y = 170 \end{cases})
解得：(x = 35, y = 23)。
答：文学书单价35元，科普书单价23元。解：（1）作图略（作∠A的角平分线）。
（2）∵ (AC=6)，(AB=10)，(∠C=90°)，∴ (BC=8)。
∵ (AD) 平分 (∠BAC)，∴ (\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5})。
设 (CD = 3k)，(BD = 5k)，则 (BC = 8k = 8)，∴ (k=1)。
∴ (CD = 3)。解：（1）(N = 200)，(m = 70)，(n = 0.12)。
（2）补全直方图略（80.5~90.5对应频数70）。
（3）(3000 \times (0.35 + 0.12) = 1410)（人）。
估计全校获得优秀等级的学生人数为1410人。（1）证明：连接 (OD)。
∵ (AD) 平分 (∠CAB)，∴ (∠CAD = ∠BAD)。
∵ (OA = OD)，∴ (∠BAD = ∠ODA)，∴ (∠CAD = ∠ODA)，∴ (OD \parallel AE)。
∵ (DE \perp AE)，∴ (DE \perp OD)，∴ (DE) 是 (⊙O) 的切线。
（2）解：连接 (BC) 交 (OD) 于点 (H)。
∵ (AB) 是直径，∴ (∠ACB = 90°)。
∵ (AC=6)，(AB=10)，∴ (BC=8)。
∵ (OD \parallel AE)，(O) 是 (AB) 中点，∴ (OH) 是 (\triangle ABC) 的中位线，∴ (OH=3)，(BH=4)。
∵ (OD=5)，∴ (DH=2)。
易证 (\triangle BHO \sim \triangle DHE)，∴ (\frac{DE}{BH} = \frac{DH}{OH})，∴ (\frac{DE}{4} = \frac{2}{3})，∴ (DE = \frac{8}{3})。解：（1）将 (A(1,3))，(B(2,4)) 代入 (y = ax^2 + bx + 2)，
(\begin{cases} a + b + 2 = 3 \ 4a + 2b + 2 = 4 \end{cases})，解得 (a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2})。
∴ 抛物线解析式为 (y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2)。
（2）∵ (y = -\frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{8})，对称轴为 (x = \frac{3}{2})，在 (1 \le m \le 3) 内。
∴ 当 (m = \frac{3}{2}) 时，(n{max} = \frac{25}{8})；
当 (m = 3) 时，(n{min} = -\frac{1}{2} \times 9 + \frac{9}{2} + 2 = 2)。
（3）设平移后顶点为 ((t, t-1))，则抛物线为 (y = -\frac{1}{2}(x - t)^2 + (t-1))。
当抛物线经过点 (O(0,0)) 时，代入得 (0 = -\frac{1}{2}t^2 + t - 1)，解得 (t = 1 \pm \sqrt{3})。
当抛物线经过点 (B(2,4)) 时，代入得 (4 = -\frac{1}{2}(2-t)^2 + t - 1)，解得 (t = 2) 或 (t = 4)。
结合图形分析，平移后抛物线与线段 (OB) 有且只有一个公共点时，
顶点横坐标 (t) 的取值范围是：(1 - \sqrt{3} < t \le 0) 或 (t = 2) 或 (t \ge 4)。解：（1）∵ (AB=AC)，(∠BAC=90°)，∴ (∠B=∠C=45°)。
∵ (∠BAD=15°)，∴ (∠CAD=75°)。
在 (\triangle ABD) 中，由正弦定理：(\frac{BD}{\sin∠BAD} = \frac{AB}{\sin∠ADB})，
即 (\frac{2}{\sin15°} = \frac{AB}{\sin120°})，∴ (AB = \frac{2 \sin120°}{\sin15°} = \frac{\sqrt{3}}{\sin15°})。
同理在 (\triangle ADC) 中，(\frac{CD}{\sin∠CAD} = \frac{AC}{\sin∠ADC})，
∵ (AC=AB)，(∠ADC=180°-∠ADB=60°)，
∴ (CD = \frac{AC \sin75°}{\sin60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sin15°} \cdot \sin75°}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sin75°}{\sin15°} = 2 \cdot \frac{\cos15°}{\sin15°} = 2\cot15° = 2(2+\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3})。
（2）证明：∵ (∠BAC = ∠DAE = 90°)，∴ (∠BAD = ∠CAE)。
又 ∵ (AB = AC)，(AD = AE)，∴ (\triangle ABD \cong \triangle ACE)（SAS），
∴ (∠ACE = ∠B = 45°)。
∵ (∠ACB = 45°)，∴ (∠BCE = 90°)，即 (CE \perp BC)。
（3）(AF = \frac{1}{2} BC)。
理由：连接 (CF) 并延长至点 (G)，使得 (FG = CF)，连接 (DG, AG)。
∵ (F) 是