- 本试卷共4页,满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前,请务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，答案需写在答题卡上，写在试卷上无效。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知空间向量 (\vec{a}=(1, -2, 3))，(\vec{b}=(2, 1, -1))，则 (\vec{a} \cdot \vec{b}) 等于（ ） A. -3 B. 1 C. 3 D. 5
直线 (l_1: 2x - y + 1 = 0) 与直线 (l_2: x + 2y - 3 = 0) 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直
已知圆的方程为 ((x-2)^2 + (y+1)^2 = 9)，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ((2, -1), 9) B. ((-2, 1), 3) C. ((2, -1), 3) D. ((-2, 1), 9)
椭圆 (\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1) 的焦点坐标为（ ） A. ((\pm 3, 0)) B. ((0, \pm 3)) C. ((\pm 4, 0)) D. ((\pm 5, 0))
双曲线 (\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1) 的渐近线方程为（ ） A. (y = \pm \frac{3}{2}x) B. (y = \pm \frac{2}{3}x) C. (y = \pm \frac{9}{4}x) D. (y = \pm \frac{4}{9}x)
抛物线 (y^2 = 8x) 的准线方程是（ ） A. (x = -2) B. (x = 2) C. (y = -2) D. (y = 2)
已知等差数列 ({a_n}) 中，(a_3 = 5)，(a_7 = 13)，则其公差 (d) 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知 (\triangle ABC) 的三个顶点为 (A(1, 2))， (B(3, 0))， (C(-1, 4))，则 (BC) 边上的中线长为（ ） A. (\sqrt{5}) B. (2\sqrt{2}) C. (3) D. (\sqrt{10})
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知向量 (\vec{m} = (k, 1))，(\vec{n} = (2, -4))，且 (\vec{m} \perp \vec{n})，则实数 (k =)__。
过点 (P(1, -2)) 且与直线 (3x - 4y + 5 = 0) 平行的直线方程为__。
已知等比数列 ({b_n}) 的首项 (b_1 = 2)，公比 (q = 3)，则 (b_4 =)__。
若方程 (\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{4} = 1) 表示焦点在 (x) 轴上的椭圆，则实数 (m) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（本小题满分12分） 已知空间三点 (A(1, 0, 0))， (B(0, 1, 0))， (C(0, 0, 2))。 （1）求向量 (\overrightarrow{AB}) 与 (\overrightarrow{AC}) 的坐标； （2）求 (\triangle ABC) 的面积。
（本小题满分14分） 已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且经过点 (A(3, 2)) 和 (B(1, 4))。 （1）求圆 (C) 的标准方程； （2）判断点 (P(2, 3)) 与圆 (C) 的位置关系。
（本小题满分16分） 已知椭圆 (C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)) 的离心率为 (\frac{1}{2})，且过点 (M(2, \frac{3}{2}))。 （1）求椭圆 (C) 的标准方程； （2）求以椭圆 (C) 的右焦点为圆心，且与直线 (x = 4) 相切的圆的方程。
（本小题满分16分） 已知等差数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n)，且 (a_2 + a_5 = 11)， (S_6 = 39)。 （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （2）设 (b_n = \frac{1}{an a{n+1}})，求数列 ({b_n}) 的前 (n) 项和 (T_n)。
（本小题满分16分） 如图，在棱长为2的正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，(E)， (F) 分别是棱 (BB_1)， (DD_1) 的中点。 （1）求证：(EF //) 平面 (ABCD)； （2）求异面直线 (AE) 与 (CF) 所成角的余弦值。
（本小题满分16分） 已知抛物线 (E: y^2 = 2px (p > 0)) 的焦点为 (F)，点 (A(4, m)) 在抛物线 (E) 上，且 (|AF| = 5)。 （1）求抛物线 (E) 的方程； （2）设过点 (F) 的直线 (l) 与抛物线 (E) 相交于 (M)， (N) 两点，若 (\overrightarrow{MF} = 2\overrightarrow{FN})，求直线 (l) 的方程。
试卷说明：主要依据《普通高中教科书·数学（选择性必修第一册）》编写，涵盖空间向量、直线与圆、圆锥曲线、数列等核心章节，建议结合高二数学上册课本电子版进行系统复习，以巩固基础知识，提升综合解题能力。
（试卷结束）
2025年高二数学上册综合测试卷（参考答案）
选择题
- A
- C
- C
- A
- A
- A
- B
- D
填空题9. 2 10. (3x - 4y - 11 = 0) 11. 54 12. (m > 4)
解答题13. (1) (\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0))， (\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 2)) (2) 面积 (S = \frac{\sqrt{21}}{2})
(1) 设圆心 (C(a, 2a))，由 (|CA|=|CB|) 解得 (a=2)，圆心 (C(2, 4))，半径 (r = |CA| = \sqrt{5})。 圆的标准方程为：((x-2)^2 + (y-4)^2 = 5) (2) 点 (P(2, 3))，计算 (|PC| = 1 < \sqrt{5})，故点 (P) 在圆内。
(1) 由题意 (\frac{c}{a} = \frac{1}{2})，且 (\frac{4}{a^2} + \frac{9}{4b^2} = 1)，又 (a^2 = b^2 + c^2)，联立解得 (a^2 = 16)， (b^2 = 12)。 椭圆方程为：(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1) (2) 右焦点 (F_2(2, 0))，所求圆半径 (r = |4-2| = 2)。 圆的方程为：((x-2)^2 + y^2 = 4)
(1) 设公差为 (d)，由条件得： (\begin{cases} (a_1+d) + (a_1+4d) = 11 \ 6a_1 + 15d = 39 \end{cases}) 解得 (a_1 = 4)， (d = 1)。 通项公式：(a_n = n + 3) (2) (b_n = \frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}) (T_n = (\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5}-\frac{1}{6}) + ... + (\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{n+4} = \frac{n}{4(n+4)})
(1) 证明：取 (AA_1) 中点 (G)，连接 (GF, GE)，易证四边形 (GFEB) 为平行四边形，故 (EF // GB)，又 (GB \subset) 平面 (ABCD)， (EF \not\subset) 平面 (ABCD)，(EF //) 平面 (ABCD)。 (2) 以 (D) 为原点建立空间直角坐标系。(A(2,0,0))， (E(2,2,1))， (C(0,2,0))， (F(0,0,1))。 (\overrightarrow{AE} = (0,2,1))， (\overrightarrow{CF} = (0,-2,1))。 (\cos <\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{CF}> = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|} = \frac{-4+1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{3}{5})。 故异面直线所成角的余弦值为 (\frac{3}{5})。
(1) 由抛物线定义，(|AF| = 4 + \frac{p}{2} = 5)，解得 (p=2)。 抛物线方程为：(y^2 = 4x) (2) 焦点 (F(1,0))，设 (l: x = my + 1)， (M(x_1, y_1))， (N(x_2, y_2))。 联立 (\begin{cases} y^2 = 4x \ x = my + 1 \end{cases}) 得 (y^2 - 4my - 4 = 0)。 则 (y_1 + y_2 = 4m)， (y_1 y_2 = -4)。 由 (\overrightarrow{MF} = 2\overrightarrow{FN}) 得 ((1-x_1, -y_1) = 2(x_2-1, y_2))，即 (1-x_1 = 2(x_2-1))， (-y_1 = 2y_2)。 结合 (y_1 + y_2 = 4m)， (y_1 y_2 = -4)，解得 (m = \pm \frac{\sqrt{2}}{4})。 故直线 (l) 的方程为：(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}y + 1)，即 (4x \mp \sqrt{2}y - 4 = 0)。
（参考答案结束）