人教版高中数学电子版综合测试卷（2025）

（考试时间：120分钟 总分：150分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { x \mid 0 < x < 5, x \in \mathbb{N} } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( {1} )
   B. ( {2} )
   C. ( {1, 2} )
   D. ( {0, 1, 2} )

2. 复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
   A. 第一象限
   B. 第二象限
   C. 第三象限
   D. 第四象限

3. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( m = )（ ）
   A. 2
   B. -2
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

4. 函数 ( f(x) = \ln(x-1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
   A. ( (1, 4] )
   B. ( [1, 4] )
   C. ( (1, 4) )
   D. ( [1, 4) )

5. 已知等差数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n)，若 (a_3 + a_7 = 10)，则 (S_9 = )（ ）
   A. 45
   B. 50
   C. 55
   D. 60

6. 已知角 ( \alpha ) 的终边过点 ( P(3, -4) )，则 ( \sin 2\alpha = )（ ）
   A. ( -\frac{24}{25} )
   B. ( \frac{24}{25} )
   C. ( -\frac{12}{25} )
   D. ( \frac{12}{25} )

7. 已知直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 = 4 ) 相交于 (A, B) 两点，若 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，则 ( k = )（ ）
   A. ( \pm \sqrt{3} )
   B. ( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} )
   C. ( \pm 1 )
   D. ( \pm \frac{1}{2} )

8. 已知函数 ( f(x) = e^x - ax ) 在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ）
   A. ( (-\infty, 1] )
   B. ( (-\infty, e] )
   C. ( (-\infty, 0] )
   D. ( (-\infty, 2] )

9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（ ）
   （注：三视图为一个主视图：底边为4、高为3的等腰三角形；左视图：底边为4、高为3的等腰三角形；俯视图：一个边长为4的正方形，且正方形中心与三角形顶点对齐）
   A. ( 16 \, \text{cm}^3 )
   B. ( 24 \, \text{cm}^3 )
   C. ( 32 \, \text{cm}^3 )
   D. ( 48 \, \text{cm}^3 )

10. 已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的离心率为 ( \sqrt{3} )，则其渐近线方程为（ ）
    A. ( y = \pm \sqrt{2}x )
    B. ( y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x )
    C. ( y = \pm 2x )
    D. ( y = \pm \frac{1}{2}x )

11. 已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 ( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = )（ ）
    （注：图象显示周期为 ( \pi )，过点 ( (\frac{\pi}{12}, 1) )）
    A. ( \frac{1}{2} )
    B. ( \frac{\sqrt{2}}{2} )
    C. ( \frac{\sqrt{3}}{2} )
    D. 1

12. 已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且当 ( x \in [0, 2) ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(2025) = )（ ）
    A. -1
    B. 0
    C. 1
    D. 2

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 ( (x + \frac{1}{x})^n ) 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 ( n = )__。

14. 已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = )__。

15. 已知抛物线 ( y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，点 ( P ) 在抛物线上，且 ( |PF| = 5 )，则点 ( P ) 的横坐标为__。

16. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq 0 \ \ln x, & x > 0 \end{cases} )，若函数 ( g(x) = f(x) - m ) 有3个零点，则实数 ( m ) 的取值范围是__。

解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （10分）
    在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，已知 ( \cos A = \frac{1}{3} )，( b = 2 )，( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{2} )。
    （1）求 ( a ) 的值；
    （2）求 ( \sin(2B - A) ) 的值。

18. （12分）
    已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )（( n \in \mathbb{N}^* )）。
    （1）证明：数列 ({a_n + 1}) 为等比数列；
    （2）求数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和 ( S_n )。

19. （12分）
    如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，点 ( E ) 为棱 ( PD ) 的中点。
    （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
    （2）求二面角 ( B-AE-C ) 的余弦值。

20. （12分）
    已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。
    （1）求椭圆 ( C ) 的方程；
    （2）设直线 ( l: y = kx + m ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若以 ( AB ) 为直径的圆经过坐标原点 ( O )，求 ( \triangle AOB ) 面积的最大值。

21. （12分）
    已知函数 ( f(x) = x \ln x - ax^2 + x )（( a \in \mathbb{R} )）。
    （1）若 ( a = 1 )，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程；
    （2）若 ( f(x) ) 在定义域内单调递减，求实数 ( a ) 的取值范围。

22. （12分）
    在平面直角坐标系 ( xOy ) 中，曲线 ( C_1 ) 的参数方程为 ( \begin{cases} x = 2 + 2\cos\theta \ y = 2\sin\theta \end{cases} )（( \theta ) 为参数），以坐标原点 ( O ) 为极点，( x ) 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ( C_2 ) 的极坐标方程为 ( \rho = 4\sin\theta )。
    （1）求曲线 ( C_1 ) 的普通方程和曲线 ( C_2 ) 的直角坐标方程；
    （2）已知射线 ( l: \theta = \alpha \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right) ) 与曲线 ( C_1 )、( C_2 ) 分别交于 ( M, N ) 两点（不同于极点），求 ( |OM| \cdot |ON| ) 的最大值。

参考答案见下页

人教版高中数学电子版综合测试卷（2025）参考答案

选择题

1. C
2. D
3. A
4. A
5. A
6. A
7. B
8. A
9. B
10. A
11. C
12. A

填空题

13. 10
14. 1
15. 4
16. ( (0, 1] )

解答题

17. （1）由 ( S = \frac{1}{2}bc\sin A )，得 ( \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times c \times \frac{2\sqrt{2}}{3} )，解得 ( c = \frac{3}{2} )。
    由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 4 + \frac{9}{4} - 2 \times 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{17}{4} )，故 ( a = \frac{\sqrt{17}}{2} )。
    （2）由正弦定理 ( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} )，得 ( \sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{17}} )。
    由 ( b < a ) 知 ( B < A )，故 ( \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \frac{15}{3\sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{17}} )。
    则 ( \sin(2B - A) = \sin 2B\cos A - \cos 2B\sin A = 2\sin B\cos B\cos A - (2\cos^2 B - 1)\sin A )。
    代入计算得 ( \sin(2B - A) = \frac{64\sqrt{2}}{153} - \left(\frac{50}{17} - 1\right) \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{64\sqrt{2}}{153} - \frac{66\sqrt{2}}{153} = -\frac{2\sqrt{2}}{153} )。

18. （1）由 ( a_{n+1} = 2an + 1 ) 得 ( a{n+1} + 1 = 2(a_n + 1) )，又 ( a_1 + 1 = 2 )，
    故数列 ({a_n + 1}) 是以2为首项、2为公比的等比数列。
    （2）由（1）得 ( a_n + 1 = 2^n )，故 ( a_n = 2^n - 1 )。
    则 ( S_n = (2 + 2^2 + \cdots + 2^n) - n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n = 2^{n+1} - n - 2 )。

19. （1）连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于点 ( O )，连接 ( OE )。
    因为 ( ABCD ) 为矩形，( O ) 为 ( BD ) 中点，又 ( E ) 为 ( PD ) 中点，( OE \parallel PB )。
    因为 ( OE \subset ) 平面 ( AEC )，( PB \not\subset ) 平面 ( AEC )，( PB \parallel ) 平面 ( AEC )。
    （2）以 ( A ) 为原点，( AB, AD, AP ) 所在直线分别为 ( x, y, z ) 轴建立空间直角坐标系。
    则 ( A(0,0,0) ), ( B(1,0,0) ), ( E(0,1,1) ), ( C(1,2,0) )。
    设平面 ( ABE ) 的法向量为 ( \vec{m} = (x,y,z) )，由 ( \overrightarrow{AB} = (1,0,0) ), ( \overrightarrow{AE} = (0,1,1) ) 得 ( \vec{m} = (0,1,-1) )。
    设平面 ( AEC ) 的法向量为 ( \vec{n} = (a,b,c) )，由 ( \overrightarrow{AE} = (0,1,1) ), ( \overrightarrow{AC} = (1,2,0) ) 得 ( \vec{n} = (2,1,-1) )。
    则 ( \cos\langle \vec{m}, \vec{n} \rangle = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{0 \times 2 + 1 \times 1 + (-1) \times (-1)}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{3} )。
    由图知二面角 ( B-AE-C ) 为锐角，故余弦值为 ( \frac{\sqrt{3}}{3} )。

20. （1）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} ) 得 ( a = 2c )，又 ( a^2 = b^2 + c^2 )，故 ( b^2 = 3c^2 )。
    椭圆过点 ( (1, \frac{3}{2}) )，代入得 ( \frac{1}{4c^2} + \frac{9}{4 \times 3c^2} = 1 )，解得 ( c^2 = 1 )，故 ( a^2 = 4 ), ( b^2 = 3 )。
    椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。
    （2）联立 ( \begin{cases} y = kx + m \ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} ) 得 ( (3 + 4k^2)x^2 + 8kmx + 4m^2 - 12 = 0 )。
    由 ( \Delta > 0 ) 得 ( 4k^2 - m^2 + 3 > 0 )，设 ( A(x_1,y_1) ), ( B(x_2,y_2) )，则 ( x_1 + x_2 = -\frac{8km}{3+4k^2} ), ( x_1x_2 = \frac{4m^2-12}{3+4k^2} )。
    由 ( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 ) 得 ( x_1x_2 + y_1y_2 = 0 )，即 ( (1+k^2)x_1x_2 + km(x_1+x_2) + m^2 = 0 )，代入化简得 ( 7m^2 = 12(1+k^2) )。
    又 ( |AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x2} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{(1+k^2)(4k^2-m^2+3)}}{3+4k^2} )。
    原点 ( O ) 到直线 ( l ) 的距离 ( d = \frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}} )。
    故 ( S{\triangle AOB} = \frac{1}{