选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \leq x \leq 3 } ) B. ( { x | x > -2 } ) C. ( { x | 0 < x \leq 3 } ) D. ( { x | x \geq 0 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \forall x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 )
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 + 1 ) B. ( y = |x| + 1 ) C. ( y = 2^x ) D. ( y = -\frac{1}{x} )
已知 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^{2} )，( c = \log_{2} 0.3 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) B. ( b < a < c ) C. ( c < a < b ) D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间为（ ） A. ( (1, 2) ) B. ( (2, 3) ) C. ( (3, 4) ) D. ( (4, 5) )
设函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2^x, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
已知正实数 ( a, b ) 满足 ( a + 2b = 1 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值为（ ） A. ( 3 + 2\sqrt{2} ) B. ( 4\sqrt{2} ) C. 6 D. 8
定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上单调递减，且 ( f(2) = 0 )，则满足 ( x f(x) \geq 0 ) 的 ( x ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, -2] \cup [0, 2] ) B. ( [-2, 0] \cup [2, +\infty) ) C. ( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) ) D. ( [-2, 2] )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 ) B. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = |x| ) C. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) D. ( f(x) = \log_2 x^2 )， ( g(x) = 2\log_2 x )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的解集为 ( { x | -2 < x < 3 } )，则（ ） A. ( a < 0 ) B. ( a + b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 - bx + a > 0 ) 的解集为 ( { x | -\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} } ) D. ( c > 0 )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ \log_a x, & x > 2 \end{cases} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的可能取值为（ ） A. ( \frac{1}{2} ) B. 1 C. ( \frac{3}{2} ) D. 2
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x-1} ) 的定义域为____。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3) x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )____。
某品牌汽车行驶过程中的油耗 ( y )（单位：升/百公里）与速度 ( x )（单位：公里/小时）的关系可近似表示为 ( y = \frac{1}{8000}x^2 - \frac{3}{40}x + 10 \, (0 < x \leq 120) )，则当车速为____公里/小时时,油耗最低。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(2x) \leq 1 )。
（15分）已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 \, (a > 0, \, a \neq 1) ) 的图象恒过定点 ( P )，且点 ( P ) 在函数 ( g(x) = x^b ) 的图象上。 （1）求实数 ( b ) 的值； （2）若 ( f(x) \leq 3 )，求 ( x ) 的取值范围； （3）若 ( g(f(x)) > g(2m - 3) ) 对任意 ( x \in [1, 3] ) 恒成立，求实数 ( m ) 的取值范围。
（17分）某企业生产一种电子设备，每台设备的成本由原材料费和生产费用组成，其中原材料费是固定成本，为40万元；生产费用与生产数量 ( x )（单位：台）的平方成正比，已知当生产数量为100台时，总成本为200万元。 （1）写出总成本 ( y )（万元）关于生产数量 ( x )（台）的函数关系式； （2）若每台设备的售价为5万元，试问：生产数量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少万元？（利润 = 销售收入 - 总成本）
（17分）已知函数 ( f(x) = a \cdot 2^x - 2^{-x} ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数。 （1）求实数 ( a ) 的值； （2）判断并证明函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性； （3）若存在 ( x \in [1, 2] )，使得 ( f(x^2 - kx) + f(2x - 4) < 0 ) 成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
2025年新版高一数学必修一综合测试卷参考答案
选择题
A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. A
多选题9. BC 10. ACD 11. CD
填空题12. ( (-\infty, 4] \setminus {1} ) 或 ( (-\infty, 1) \cup (1, 4] ) 13. 1 14. 60
解答题15. (1) ( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )； ( C_U A = { x | x < 3 \, \text{或} \, x \geq 7 } )， ( (C_U A) \cap B = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 (2) 由 ( B \cap C = \varnothing )，且 ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )，得 ( a \geq 10 )。
(1) ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )， ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)} < 0 )，故 ( f(x_1) < f(x_2) )，得证。 (2) 不等式 ( f(2x) \leq 1 ) 即 ( \frac{4x-1}{2x+1} \leq 1 )，解得 ( x \leq 1 )，又 ( 2x+1 \neq 0 )，故解集为 ( { x | x \leq 1 \, \text{且} \, x \neq -\frac{1}{2} } )。
(1) 令 ( 2x - 1 = 1 )，得 ( x = 1 )，则 ( f(1) = 2 )，定点 ( P(1, 2) )。 代入 ( g(x) = x^b )，得 ( 2 = 1^b )，故 ( b ) 为任意实数，但通常取使函数有意义的实数，由题可理解为 ( b=0 ) 时 ( g(x)=1 ) 不过点 ( P )，故需 ( 2=1^b )，解得 ( b ) 可为任意实数，但结合常见题型，通常取 ( b=1 ) 满足，若 ( g(x) ) 为幂函数，则 ( b=1 )。常见解法：由 ( 2 = 1^b )，得 ( b = \log_1 2 ) 无意义，故题目隐含 ( g(x) ) 为过定点的函数，此处通常取 ( b=1 ) 使 ( g(x)=x ) 过 ( (1,2) ) 点？这产生矛盾，更合理的理解是：点 ( P(1,2) ) 在 ( g(x)=x^b ) 上，故 ( 2=1^b )，则 ( b ) 可以是任意实数，但通常为了计算，设定 ( b=1 ) 时 ( g(x)=x ) ( (1,2) )，因此原题可能为 ( g(x)=b^x ) 或 ( g(x)=x+b )，若按原幂函数，则 ( b ) 为任意实数，答案不唯一。标准答案假设：若题目意图为 ( g(x) = b^x )，则 ( 2 = b^1 )，( b=2 )，若题目意图为 ( g(x) = x + b )，则 ( 2 = 1 + b )，( b=1 )，此处按常见错误修正：原题可能为 ( g(x) = b^x ) 或 ( g(x) = x + b )，但试卷已给出 ( g(x)=x^b )，则 ( b ) 可为任意实数，为一瑕疵。参考答案暂按 ( b=1 ) 处理（即 ( g(x)=x )) 进行后续计算。(2) ( f(x) = \log_a (2x-1) + 2 \leq 3 )，即 ( \log_a (2x-1) \leq 1 )。 当 ( a>1 ) 时， ( 0 < 2x-1 \leq a )，解得 ( \frac{1}{2} < x \leq \frac{a+1}{2} )。 当 ( 0<a<1 ) 时， ( 2x-1 \geq a )，解得 ( x \geq \frac{a+1}{2} )。 (3) 依题意，当 ( b=1 ) 时，( g(x)=x ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则 ( f(x) > 2m-3 ) 对任意 ( x \in [1,3] ) 恒成立。 即 ( \log_a (2x-1) + 2 > 2m-3 ) 对 ( x \in [1,3] ) 恒成立。 ( \log_a (2x-1) > 2m-5 )。 当 ( a>1 ) 时，( \log_a (2x-1) ) 在 ( [1,3] ) 上递增，最小值为 ( \log_a 1 = 0 )。 需 ( 0 > 2m-5 )，即 ( m < \frac{5}{2} )。 当 ( 0<a<1 ) 时，( \log_a (2x-1) ) 在 ( [1,3] ) 上递减，最小值为 ( \log_a 5 )。 需 ( \log_a 5 > 2m-5 )，即 ( 2m-5 > \log_a 5 )，( m > \frac{5 + \log_a 5}{2} )。
(1) 设生产费用为 ( kx^2 )，则总成本 ( y = kx^2 + 40 )。 当 ( x=100 ) 时，( y=200 )，即 ( 200 = k \times 10000 + 40 )，解得 ( k = 0.016 )。 故 ( y = 0.016x^2 + 40 \, (x > 0) )。 (2) 设利润为 ( L(x) ) 万元，则 ( L(x) = 5x - (0.016x^2 + 40) = -0.016x^2 + 5x - 40 )。 此为二次函数，当 ( x = -\frac{5}{2 \times (-0.016)} = 156.25 ) 时，( L(x) ) 最大。 由于 ( x ) 为整数，计算 ( L(156) ) 与 ( L(157) )： ( L(156) = -0.016 \times 24336 + 780 - 40 = 350.624 )， ( L(157) = -0.016 \times 24649 + 785 - 40 = 350.616 )。 故当生产数量为156台时，最大利润约为350.624万元。
(1) 由 ( f(x) ) 为 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，得 ( f(0) = a \cdot 2^0 - 2^0 = a - 1 = 0 )，故 ( a = 1 )。 (2) ( f(x) = 2^x - 2^{-x} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} )，且 ( x_1 < x_2 )， ( f(x_1) - f(x_2) = (2^{x_1} - 2^{-x_1}) - (2^{x_2} - 2^{-x_2}) = (2^{x_1} - 2^{x_2}) + (2^{-x_2} - 2^{-x_1}) < 0 )，得证。 (3) 由 ( f(x) ) 为奇函数且单调递增，原不等式等价于 ( f(x^2 - kx) < -f(2x - 4) = f(4 - 2x