120分钟 满分：150分
选择题（共12题，每题5分，共60分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( (1, 3] )
B. ( [-2, 3] )
C. ( [1, 3] )
D. ( (1, 3) )命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 )”的否定是（ ）
A. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )
B. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )
C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 )
D. ( \forall x \notin \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x} + \dfrac{1}{x - 1} ) 的定义域为（ ）
A. ( (-\infty, 4] )
B. ( (-\infty, 1) \cup (1, 4] )
C. ( [1, 4] )
D. ( (1, 4] )若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
A. ( \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} )
B. ( a^2 < b^2 )
C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
D. ( |a| < |b| )已知函数 ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ) 在区间 ( [0, m] ) 上有最小值 (-1)，则 ( m ) 的取值范围是（ ）
A. ( [1, +\infty) )
B. ( [1, 2] )
C. ( (0, 2] )
D. ( [1, 3] )若 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \dfrac{3}{5} )，则 ( \tan \alpha = )（ ）
A. ( \dfrac{4}{3} )
B. ( -\dfrac{4}{3} )
C. ( \dfrac{3}{4} )
D. ( -\dfrac{3}{4} )已知 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_3 2 )，( c = 2^{0.3} )，则（ ）
A. ( a < b < c )
B. ( b < a < c )
C. ( b < c < a )
D. ( c < b < a )函数 ( f(x) = \dfrac{2^x - 1}{2^x + 1} ) 的图象大致为（ ）
A. 关于原点对称
B. ( y ) 轴对称
C. 关于直线 ( y = x ) 对称
D. 无对称性若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} ) 的最小值为（ ）
A. ( 2 )
B. ( \dfrac{9}{4} )
C. ( 3 )
D. ( \dfrac{5}{2} )已知函数 ( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) )，则 ( f(x) ) 为（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数设函数 ( f(x) = \begin{cases} 2^x, & x \leq 0 \ \log_2 x, & x > 0 \end{cases} )，若 ( f(a) = \dfrac{1}{2} )，则 ( a = )（ ）
A. ( -1 ) 或 ( \sqrt{2} )
B. ( -1 ) 或 ( 2 )
C. ( \dfrac{1}{2} ) 或 ( \sqrt{2} )
D. ( \dfrac{1}{2} ) 或 ( 2 )已知函数 ( f(x) = \sin(2x + \varphi) ) (( 0 < \varphi < \pi )) 的图象关于直线 ( x = \dfrac{\pi}{6} ) 对称，则 ( \varphi = )（ ）
A. ( \dfrac{\pi}{6} )
B. ( \dfrac{\pi}{3} )
C. ( \dfrac{2\pi}{3} )
D. ( \dfrac{5\pi}{6} )
填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 计算：( \left( \dfrac{9}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} + \log_3 18 - \log_3 2 = \underline{\hspace{2cm}} ).
若幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m^2 - m - 2} ) 的图象不过原点，则 ( m = \underline{\hspace{2cm}} ).
已知 ( \sin \theta + \cos \theta = \dfrac{1}{3} )，则 ( \sin 2\theta = \underline{\hspace{2cm}} ).
函数 ( f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 3) ) 的单调递增区间为 \underline{\hspace{2cm}}.
解答题（共6题，共70分）
17. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 2 \leq x \leq 5 } )，( B = { x \mid a \leq x \leq a + 3 } ).
（1）若 ( a = 2 )，求 ( A \cup B )、( \complement_U (A \cap B) )；
（2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( a ) 的取值范围.
（12分）已知函数 ( f(x) = \dfrac{ax + b}{x^2 + 1} ) 是定义在 ( [-1, 1] ) 上的奇函数，且 ( f\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{4}{5} ).
（1）求 ( a, b ) 的值；
（2）判断 ( f(x) ) 在 ( [-1, 1] ) 上的单调性，并用定义证明.（12分）已知 ( \alpha \in \left( \dfrac{\pi}{2}, \pi \right) )，( \sin \alpha = \dfrac{4}{5} ).
（1）求 ( \cos \alpha )、( \tan \alpha ) 的值；
（2）求 ( \sin\left( \alpha + \dfrac{\pi}{3} \right) ) 的值.（12分）已知函数 ( f(x) = \log_2(4^x + 1) - x ).
（1）证明：( f(x) ) 为偶函数；
（2）若不等式 ( f(x) > \log_2(a \cdot 2^x - a) ) 对 ( x \in [1, 2] ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围.（12分）某工厂生产某种产品，年固定成本为 ( 200 ) 万元，每生产 ( x ) 千件，需另投入成本 ( C(x) )（万元）. 若年产量不足 ( 80 ) 千件，则 ( C(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 10x )；若年产量不小于 ( 80 ) 千件，则 ( C(x) = 51x + \dfrac{10000}{x} - 1450 ). 每件商品售价为 ( 0.05 ) 万元.
（1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin\left( \omega x + \dfrac{\pi}{6} \right) ) (( \omega > 0 )) 的最小正周期为 ( \pi ).
（1）求 ( \omega ) 及 ( f(x) ) 的对称中心；
（2）将函数 ( y = f(x) ) 的图象向右平移 ( \dfrac{\pi}{6} ) 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ( \dfrac{1}{2} ) 倍（纵坐标不变），得到函数 ( y = g(x) ) 的图象，求 ( g(x) ) 在 ( \left[ 0, \dfrac{\pi}{4} \right] ) 上的值域.
参考答案
2025年高一数学上学期期末测试卷参考答案（依据2022新版教材电子书命题）
选择题
1-5：AABCB
6-10：DCACA
11-12：AB
填空题
13. ( \dfrac{5}{3} )
14. ( 1 ) 或 ( 2 )
15. ( -\dfrac{8}{9} )
16. ( (-\infty, 1) )
解答题
17. （1）( A \cup B = [2, 8] )，( \complement_U (A \cap B) = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty) )；
（2）( a \in [2, 5] ).
18. （1）( a = 1, b = 0 )；
（2）单调递增，证明略.
19. （1）( \cos \alpha = -\dfrac{3}{5} )，( \tan \alpha = -\dfrac{4}{3} )；
（2）( \sin\left( \alpha + \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{4 - 3\sqrt{3}}{10} ).
20. （1）证明略；
（2）( a \in (-\infty, 2) ).
21. （1）( L(x) = \begin{cases} -0.5x^2 + 40x - 200, & 0 < x < 80 \ 1200 - \left( x + \dfrac{10000}{x} \right), & x \geq 80 \end{cases} )；
（2）产量为 ( 100 ) 千件时，最大利润为 ( 1000 ) 万元.
22. （1）( \omega = 2 )，对称中心为 ( \left( \dfrac{k\pi}{2} - \dfrac{\pi}{12}, 0 \right) )（( k \in \mathbb{Z} )）；
（2）值域为 ( [-\sqrt{3}, 2] ).