数学（人教版）**
注意事项：
- 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { x \mid 0 < x < 5, x \in \mathbb{N} } )，则 ( A \cap B = )
A. ( {1} )
B. ( {2} )
C. ( {1, 2} )
D. ( {0, 1, 2} )复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} ) 的虚部为
A. ( \frac{3}{2} )
B. ( -\frac{1}{2} )
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{3}{2} )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( m = )
A. ( 2 )
B. ( -2 )
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 4) ) 的单调递增区间是
A. ( (-\infty, -2) )
B. ( (0, +\infty) )
C. ( (2, +\infty) )
D. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 ) 的离心率为 ( 2 )，则 ( a = )
A. ( \sqrt{3} )
B. ( 3 )
C. ( 2\sqrt{3} )
D. ( 6 )已知 ( \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) )，( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = )
A. ( \frac{24-7\sqrt{3}}{50} )
B. ( \frac{24+7\sqrt{3}}{50} )
C. ( \frac{7\sqrt{3}-24}{50} )
D. ( -\frac{24+7\sqrt{3}}{50} )已知等差数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，若 ( a_2 + a_8 = 10 )，则 ( S_9 = )
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60已知函数 ( f(x) = e^x - ax ) 在区间 ([1, 2]) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是
A. ( (-\infty, e] )
B. ( (-\infty, e^2] )
C. ( (-\infty, e^2) )
D. ( (-\infty, e) )
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
已知直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 = 4 )，则
A. 若 ( l ) 与圆 ( C ) 相切，则 ( k = 0 )
B. 存在实数 ( k )，使得 ( l ) 与圆 ( C ) 相切
C. 若 ( l ) 与圆 ( C ) 相交，则弦长最短时 ( k = 1 )
D. 若 ( l ) 与圆 ( C ) 相交，则弦长最短为 ( 2\sqrt{3} )已知函数 ( f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) )，则
A. ( f(x) ) 的最小正周期为 ( \pi )
B. ( f(x) ) 的图象关于点 (\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)) 对称
C. ( f(x) ) 在区间 (\left[0, \frac{\pi}{2}\right]) 上单调递减
D. 将 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位长度后得到偶函数图象已知正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 的棱长为 ( 2 )，点 ( P ) 在棱 ( BB_1 ) 上运动，则
A. 直线 ( CP ) 与 ( AD_1 ) 所成角的最小值为 ( \frac{\pi}{4} )
B. 直线 ( CP ) 与平面 ( ADD_1A_1 ) 所成角的最大值为 ( \frac{\pi}{3} )
C. 当 ( P ) 为 ( BB_1 ) 中点时，三棱锥 ( P-ACD_1 ) 的体积为定值
D. 存在点 ( P )，使得 ( CP \perp AD_1 )
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
已知 ( (x + a)^5 ) 的展开式中 ( x^3 ) 的系数为 ( 40 )，则实数 ( a = )__。
已知抛物线 ( y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线交抛物线于 ( A, B ) 两点，若 ( |AF| = 3 )，则 ( |BF| = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \leq 1 \ \log_2 x, & x > 1 \end{cases} )，若方程 ( f(x) = m ) 有两个不同的实数根，则实数 ( m ) 的取值范围是__。
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
在 ( \triangle ABC ) 中，角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5} )，( b = 2 )，( \triangle ABC ) 的面积为 ( 2 )。
（1）求 ( a ) 的值；
（2）求 ( \sin(2B - A) ) 的值。（15分）
如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，点 ( E ) 为线段 ( PD ) 的中点。
（1）证明：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
（2）求二面角 ( B-AE-C ) 的正弦值。（15分）
已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \begin{cases} a_n + 2, & n \text{为奇数} \ 2a_n, & n \text{为偶数} \end{cases} )。
（1）求 ( a_2, a_3, a_4 )；
（2）设 ( bn = a{2n-1} )，求数列 ({b_n}) 的通项公式；
（3）求数列 ({an}) 的前 ( 20 ) 项和 ( S{20} )。（17分）
已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( \left(1, \frac{3}{2}\right) )。
（1）求椭圆 ( C ) 的标准方程；
（2）设过点 ( P(2, 1) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，是否存在定点 ( Q )，使得 ( k{QA} \cdot k{QB} ) 为定值？若存在，求出点 ( Q ) 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。（17分）
已知函数 ( f(x) = x \ln x - ax^2 + x )。
（1）若 ( a = 1 )，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程；
（2）若 ( f(x) ) 有两个极值点 ( x_1, x_2 )（( x_1 < x_2 )），且不等式 ( f(x_1) + f(x_2) \leq \lambda (x_1 + x_2) ) 恒成立，求实数 ( \lambda ) 的取值范围。
参考答案
选择题
C 2. A 3. A 4. C 5. B 6. C 7. A 8. B
多选题
9. BD 10. ABD 11. AC
填空题
12. ( 2 ) 13. ( \frac{3}{2} ) 14. ( (-1, 0] )
解答题
15. （1）由面积公式 ( S = \frac{1}{2} bc \sin A )，得 ( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} )，由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A ) 及已知解得 ( a = \sqrt{5} )。
（2）由正弦定理及已知求得 ( \sin B )，再利用三角恒等变换得 ( \sin(2B - A) = \frac{2\sqrt{5}}{25} )。
（1）连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于点 ( O )，连接 ( OE )，证明 ( OE \parallel PB ) 即可。
（2）建立空间直角坐标系，求得平面 ( BAE ) 与平面 ( CAE ) 的法向量，利用向量公式求得二面角余弦值，再得正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )。（1）( a_2 = 3 )，( a_3 = 6 )，( a4 = 8 )。
（2）由递推关系得 ( b{n+1} = a{2n+1} = 2a{2n} = 2(a_{2n-1} + 2) = 2b_n + 4 )，构造等比数列得 ( bn = 5 \cdot 2^{n-1} - 4 )。
（3）分组求和得 ( S{20} = 6160 )。（1）由离心率及过点坐标解得 ( a^2 = 4 )，( b^2 = 3 )，椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。
（2）设直线 ( l: y = k(x-2) + 1 )，联立椭圆方程，利用韦达定理得 ( k{QA} \cdot k{QB} = \frac{3(1-2t)}{4(t^2-1)} )（( Q(t,0) )），令分子为常数得 ( t = \frac{1}{2} )，此时定值为 ( -\frac{1}{2} )。（1）( a = 1 ) 时，( f(x) = x \ln x - x^2 + x )，( f'(x) = \ln x - 2x + 2 )，切线方程为 ( y = 1 )。
（2）由 ( f'(x) = \ln x - 2ax + 2 = 0 ) 有两不等实根，得 ( 0 < a < \frac{1}{2} )，且 ( x_1 x_2 = 1 )，由所给不等式化为 ( \lambda \geq \frac{1}{a} - 2 )，结合 ( a ) 范围得 ( \lambda \geq 0 )。