（本试卷参考网上最牛初中数学老师教学风格与高频考点）
选择题（每题4分，共32分）
若 ( a^2 + b^2 = 25 )，( ab = 12 )，则 ( a + b = )
A. 7
B. ±7
C. 5
D. ±5在平面直角坐标系中,点 ( P(2m-1, m+3) ) 关于原点对称的点在第二象限，则 ( m ) 的取值范围是
A. ( m < \frac{1}{2} )
B. ( m > -3 )
C. ( -\frac{1}{2} < m < 3 )
D. ( -\frac{1}{2} < m < \frac{1}{2} )如图,在 (\triangle ABC) 中，( D ) 为 ( BC ) 中点，( E ) 为 ( AD ) 中点，连接 ( BE ) 并延长交 ( AC ) 于 ( F )，则 ( AF:FC = )
A. 1:2
B. 1:3
C. 2:3
D. 3:4若关于 ( x ) 的分式方程 (\frac{2x}{x-3} + \frac{m}{3-x} = 1) 有增根，则 ( m = )
A. 3
B. -3
C. 6
D. -6二次函数 ( y = ax^2 + bx + c ) 图象如图所示，则一次函数 ( y = bx + ac ) 的图象大致是
（图略，描述：抛物线开口向上，顶点在第四象限）
A. 过一、二、三象限
B. 过一、三、四象限
C. 过二、三、四象限
D. 过一、二、四象限在菱形 ( ABCD ) 中，( \angle A = 60^\circ )，( AB = 4 )，点 ( E ) 为 ( AB ) 中点，点 ( F ) 在 ( BC ) 上，且 ( BF = 3FC )，则 ( EF ) 的长为
A. ( \sqrt{7} )
B. ( \sqrt{10} )
C. ( \sqrt{13} )
D. 4已知 ( a, b, c ) 满足 ( a + b + c = 0 )，( abc = 8 )，则 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) 的值是
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 不能确定如图,正方形 ( ABCD ) 边长为 6，点 ( E, F ) 分别在 ( BC, CD ) 上，且 ( BE = CF )，连接 ( AE, BF ) 交于点 ( G )，则 ( CG ) 的最小值为
A. ( 3\sqrt{5} - 3 )
B. ( 3\sqrt{2} )
C. ( 6\sqrt{2} - 6 )
D. ( 3\sqrt{3} )
填空题（每题4分，共20分）
9. 若 ( x^2 - 5x + 1 = 0 )，则 ( x^2 + \frac{1}{x^2} = )__。
10. 已知 ( \sqrt{2x-1} + \sqrt{1-2x} + 3 = y )，则 ( xy = )__。
11. 在 (\triangle ABC) 中，( \angle A = 45^\circ )，( \angle B = 75^\circ )，( BC = 6 )，则 ( AC = )__。
12. 将抛物线 ( y = x^2 - 4x + 3 ) 绕原点旋转 180° 后所得抛物线解析式为__。
13. 如图，( \triangle ABC ) 中，( AB = AC = 10 )，( BC = 12 )，点 ( D ) 在 ( BC ) 上，且 ( BD = 3 )，点 ( P ) 为线段 ( AD ) 上一动点，则 ( PB + \frac{3}{5}PC ) 的最小值为__。
解答题（共48分）
14. （8分）已知 ( a, b, c ) 为实数，且 ( a + b + c = 0 )，( abc = 16 )。
求 ( a^3 + b^3 + c^3 ) 的值。
（10分）如图，在 (\triangle ABC) 中，( \angle BAC = 90^\circ )，( AB = AC )，点 ( D ) 为 ( AC ) 中点，过 ( C ) 作 ( CE \perp BD ) 交 ( BD ) 延长线于 ( E )。
求证：( BD = 2CE )。（10分）已知关于 ( x ) 的方程 ( x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0 ) 有两个实数根。
（1）求 ( k ) 的取值范围；
（2）若该方程两根之差为 3，求 ( k ) 的值及方程的两个根。（10分）某商店销售一种商品，每件成本为 50 元，经市场调查发现，若定价为 70 元时，每天可售出 100 件；每涨价 1 元，每天销售量减少 5 件。
（1）设涨价 ( x ) 元，每天利润为 ( y ) 元，求 ( y ) ( x ) 的函数关系式；
（2）求售价定为多少时，每天利润最大，最大利润是多少？（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ( y = ax^2 + bx + 3 ) 与 ( x ) 轴交于 ( A(-1,0) )、( B(3,0) ) 两点，与 ( y ) 轴交于点 ( C )，连接 ( BC )。
（1）求抛物线解析式；
（2）点 ( P ) 为抛物线在第四象限内一点，连接 ( PB )、( PC )，若 ( S_{\triangle PBC} = 6 )，求点 ( P ) 坐标；
（3）点 ( Q ) 为抛物线对称轴上一动点，是否存在点 ( Q ) 使得 ( \angle QCB = 45^\circ )？若存在，求出点 ( Q ) 坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
2025年初中数学能力测评试卷（模拟）参考答案
选择题
B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. C 8. A
填空题
9. 23
10. (-\frac{3}{2})
11. (3\sqrt{2})
12. (y = -x^2 - 4x - 3)
13. 10
解答题
14. 解：由 ( a+b+c=0 ) 得 ( a^3+b^3+c^3 = 3abc = 3 \times 16 = 48 )。
15. 提示：延长 ( CE ) 与 ( BA ) 延长线交于 ( F )，证明 (\triangle ABD \cong \triangle ACF)，得 ( BD = CF )，再证 ( CE = EF ) 即可。
16. （1）(\Delta = 1 > 0)，( k ) 取一切实数；
（2）设两根为 ( x_1, x_2 )，则 ( |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{(2k+1)^2 - 4(k^2+k)} = 1 = 3 )（无解），故不存在满足条件的 ( k )。
17. （1）( y = (70 + x - 50)(100 - 5x) = -5x^2 + 50x + 2000 )；
（2）( y = -5(x-5)^2 + 2125 )，当售价定为 75 元时，最大利润为 2125 元。
18. （1）( y = -x^2 + 2x + 3 )；
（2）( P(2, -5) )；
（3）存在，( Q(1, 2) ) 或 ( Q(1, -6) )。
试卷说明：本卷结合代数、几何、函数综合题，注重思维层次与解题技巧，体现“最牛老师”对考点的深度把握与变形拓展能力。