- 本试卷满分150分,考试时间120分钟。
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选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | 0 \leq x < 5 } )，则 ( A \cup B = )（ ） A. ( { x | -2 < x < 5 } ) B. ( { x | 0 \leq x \leq 3 } ) C. ( { x | -2 < x \leq 5 } ) D. ( { x | 0 \leq x < 5 } )
命题“( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
下列函数中,既是奇函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 ) B. ( y = \sqrt{x} ) C. ( y = x^3 ) D. ( y = \frac{1}{x} )
已知 ( a > b > 0 )，( c < 0 )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ) B. ( ac < bc ) C. ( a^2 c > b^2 c ) D. ( a - c < b - c )
函数 ( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{x-2} ) 的定义域为（ ） A. ( [-1, 2) \cup (2, +\infty) ) B. ( (-1, 2) \cup (2, +\infty) ) C. ( [-1, +\infty) ) D. ( (-1, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( xy ) 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
设奇函数 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上单调递减，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( \frac{f(x)}{x} < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 0) \cup (0, 2) ) B. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) D. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列各组函数中,表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = x )， ( g(x) = \frac{x^2}{x} ) C. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 ) D. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c \geq 0 ) 的解集为 ( { x | -3 \leq x \leq 2 } )，则（ ） A. ( a < 0 ) B. ( a - b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为 ( { x | x < -\frac{1}{2} \text{ 或 } x > \frac{1}{3} } ) D. ( c > 0 )
已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且 ( f(x+y) = f(x) + f(y) )， 则（ ） A. ( f(0) = 0 ) B. ( f(x) ) 是奇函数 C. 若 ( f(1) = 2 )，则 ( f(3) = 6 ) D. 若 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，则 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | x^2 - 4x + 3 \leq 0 } )，则 ( \complement_U A = )__。
若“( x^2 - 3x + 2 < 0 )”是“( x > m )”的必要不充分条件，则实数 ( m ) 的最大值为__。
为了节约用水,某市对居民用水实行“阶梯水价”，收费标准如下表： | 每户每月用水量 | 水价（元/立方米） | |----------------|-------------------| | 不超过12立方米的部分 | 3.0 | | 超过12立方米但不超过18立方米的部分 | 4.5 | | 超过18立方米的部分 | 7.5 | 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月的用水量为__立方米。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分） 已知集合 ( A = { x | -3 \leq x \leq 4 } )， ( B = { x | 2m - 1 < x < m + 1 } )。 （1）若 ( m = 1 )，求 ( A \cap B )， ( A \cup B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分） （1）已知 ( x > 1 )，求 ( y = x + \frac{4}{x-1} ) 的最小值； （2）已知 ( 0 < x < \frac{1}{2} )，求 ( y = x(1-2x) ) 的最大值。
（15分） 已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) > 1 )。
（17分） 已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，当 ( x \geq 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )。 （1）求函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的解析式； （2）在给定的直角坐标系中画出函数 ( f(x) ) 的简图； （3）写出函数 ( f(x) ) 的单调递增区间和值域。
（17分） 已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) (( a \neq 0 )) 满足 ( f(0) = 1 )，且不等式 ( f(x) \leq 2x + 3 ) 对任意实数 ( x ) 恒成立。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - mx ) 在区间 ( [-1, 2] ) 上单调递减，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设 ( h(x) = |f(x)| )，当 ( x \in [-2, 2] ) 时，求 ( h(x) ) 的最大值。
2025年高一数学（上册）综合测试卷 参考答案
选择题
C 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. A 8. D
多选题9. AC 10. ABD 11. ABCD
填空题12. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) ) 13. ( 1 ) 14. ( 16 )
解答题15. （1）当 ( m=1 ) 时， ( B = { x | 1 < x < 2 } )。 ( A \cap B = { x | 1 < x < 2 } )。 ( A \cup B = { x | -3 \leq x \leq 4 } )。 （2）若 ( B = \varnothing )，则 ( 2m-1 \geq m+1 )，解得 ( m \geq 2 )，符合 ( B \subseteq A )。 若 ( B \neq \varnothing )，则 ( 2m-1 < m+1 )，即 ( m < 2 )。 由 ( B \subseteq A ) 得 ( \begin{cases} 2m-1 \geq -3 \ m+1 \leq 4 \end{cases} )，解得 ( -1 \leq m \leq 3 )。 结合 ( m < 2 ) 得 ( -1 \leq m < 2 )。 综上，实数 ( m ) 的取值范围为 ( [-1, +\infty) )。（注：或写为 ( m \geq -1 )）
（1）( \because x > 1, \therefore x-1 > 0 )。 ( y = x + \frac{4}{x-1} = (x-1) + \frac{4}{x-1} + 1 \geq 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{4}{x-1}} + 1 = 4 + 1 = 5 )。 当且仅当 ( x-1 = \frac{4}{x-1} )，即 ( x=3 ) 时取等号，故最小值为5。 （2）( \because 0 < x < \frac{1}{2} )， ( \therefore 1-2x > 0 )。 ( y = x(1-2x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (1-2x) \leq \frac{1}{2} \left( \frac{2x + (1-2x)}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} )。 当且仅当 ( 2x = 1-2x )，即 ( x = \frac{1}{4} ) 时取等号，故最大值为 ( \frac{1}{8} )。
（1）函数 ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{(2x_1-1)(x_2+1) - (2x_2-1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)} ) ( = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 ( \because x_1, x_2 > 1 )， ( \therefore x_1+1 > 0, x_2+1 > 0 )，又 ( x_1 < x_2 )， ( \therefore x_1 - x_2 < 0 )。 ( \therefore f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。 ( \therefore f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 （2）不等式 ( f(x) > 1 ) 即 ( \frac{2x-1}{x+1} > 1 )。 ( \frac{2x-1}{x+1} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x-2}{x+1} > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0 )。 ( \therefore x < -1 ) 或 ( x > 2 )。 故原不等式的解集为 ( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) )。
（1）设 ( x < 0 )，则 ( -x > 0 )。 ( \because ) 当 ( x \geq 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )，且 ( f(x) ) 是偶函数， ( \therefore f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x )。 ( \therefore f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \geq 0 \ x^2 + 2x, & x < 0 \end{cases} )。 （2）图像略。（提示：由 ( x \geq 0 ) 时的抛物线 ( y=(x-1)^2-1 ) 和偶函数性质作出） （3）由图像可知，单调递增区间为 ( [-1, 0] ) 和 ( [1, +\infty) )。 值域为 ( [-1, +\infty) )。
（1）由 ( f(0)=1 ) 得 ( c=1 )。 ( \because f(x) \leq 2x+3 ) 恒成立，即 ( ax^2 + bx + 1 \leq 2x+3 ) 恒成立， ( \therefore ax^2 + (b-2)x - 2 \leq 0 ) 恒成立。 ( \therefore a < 0 ) 且判别式 ( \Delta = (b-2)^2 + 8a \leq 0 )。 又 ( f(x) \leq 2x+3 ) 对任意实数成立，考虑取等条件，可令 ( f(x) = 2x+3 ) 有唯一解。 即方程 ( ax^2 + (b-2)x - 2 = 0 ) 有重根。 ( \therefore \Delta = (b-2)^2 + 8a = 0 )。 为简化，不妨设重根为 ( x = t )，则 ( f(t) = 2t+3 ) 且 ( f'(t)=2 )（若用导数，高一可用对称轴等知识）。 更直接的方法：由恒成立且取等，可设 ( f(x) = 2x+3 - k(x-p)^2 ) (( k>0 ))。 由 ( f(0)=1 ) 得 ( 3 - k p^2 = 1 )，即 ( k p^2 = 2 )。 又 ( f(x) = -k x^2 + (2+2kp)x + (3 - k p^2) = -k x^2 + (2+2kp)x + 1 )。 与 ( f(x)=ax^2+bx+1 ) 比较得 ( a = -k, b = 2+2kp )。 为求简单特解，令取等点 ( p=0 )，则 ( k p^2=0 ) 与 ( k p^2=2 ) 矛盾，令 ( p=1 )，则 ( k=2 )。 ( a=-2, b=2+4=6 )。 检验：( f(x) = -2x^2+6x+1 )， ( f(x) - (2x+3) = -2x^2+4x-2 = -2(x-1)^2 \leq 0 ) 恒成立，符合。 ( \therefore f(x) = -2x^2 + 6x + 1 )。（此方法为构造法，若学生未学，可用标准二次函数恒成立条件推导：需 ( a=-2, b=6 )） （2）( g(x) = f(x) - mx = -2x^2 + (6-m)x +