选择题（每题3分，共30分）
（2023新教材·数与代数）实数 ( a ) 在数轴上的位置如图所示，则 ( |a-2| + |a+1| = ) （ ）
（图示略：a 介于 -1 和 0 之间）
A. ( 3 )
B. ( 2a-1 )
C. ( 1-2a )
D. ( -3 )（2023新教材·方程与不等式）若关于 ( x ) 的一元二次方程 ( x^2 - 2x + m = 0 ) 有两个相等的实数根，则实数 ( m ) 的值为（ ）
A. ( 1 )
B. ( -1 )
C. ( 2 )
D. ( -2 )（2023新教材·函数）一次函数 ( y = kx + b )（( k \neq 0 )）的图象经过点 ( (1, 3) ) 和 ( (-2, 0) )，则其表达式为（ ）
A. ( y = x + 2 )
B. ( y = -x + 4 )
C. ( y = x - 2 )
D. ( y = -x + 2 )（2023新教材·几何）如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( DE \parallel BC )，( AD = 2 )，( DB = 3 )，( DE = 4 )，则 ( BC = ) （ ）
A. ( 6 )
B. ( 8 )
C. ( 10 )
D. ( 12 )（2023新教材·概率）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是（ ）
A. ( \frac{1}{5} )
B. ( \frac{2}{5} )
C. ( \frac{3}{5} )
D. ( \frac{4}{5} )（2023新教材·统计）某校为了解学生每周课外阅读时间，随机调查了50名学生，结果如下表：
时间（小时） 0-2 2-4 4-6 6-8
人数 10 20 15 5
这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在（ ）
A. 0-2小时
B. 2-4小时
C. 4-6小时
D. 6-8小时（2023新教材·综合与实践）用一根长为 ( 20 ) cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 ( x ) cm，面积为 ( y ) cm²，则 ( y ) 与 ( x ) 的函数关系式为（ ）
A. ( y = x(20-x) )
B. ( y = x(10-x) )
C. ( y = x(20-2x) )
D. ( y = x(10-2x) )（2023新教材·几何）如图，( \odot O ) 中，弦 ( AB \perp CD ) 于点 ( E )，若 ( \angle A = 35^\circ )，则 ( \angle C = ) （ ）
A. ( 35^\circ )
B. ( 55^\circ )
C. ( 65^\circ )
D. ( 70^\circ )（2023新教材·数与代数）已知 ( \sqrt{12-n} ) 是整数，则正整数 ( n ) 的最大值为（ ）
A. ( 3 )
B. ( 8 )
C. ( 11 )
D. ( 12 )（2023新教材·函数）二次函数 ( y = ax^2 + bx + c )（( a \neq 0 )）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
（图示略：开口向上，顶点在第四象限，与y轴负半轴相交）
A. ( a > 0, b < 0, c > 0 )
B. ( a > 0, b > 0, c < 0 )
C. ( a > 0, b < 0, c < 0 )
D. ( a < 0, b > 0, c < 0 )
填空题（每题3分，共15分）
（2023新教材·数与代数）计算：( (-2)^3 + \sqrt{9} = )__。
（2023新教材·方程与不等式）方程组 ( \begin{cases} 2x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases} ) 的解是__。
（2023新教材·几何）一个正多边形的每个内角都是 ( 135^\circ )，则这个正多边形的边数是__。
（2023新教材·函数）在反比例函数 ( y = \frac{k}{x} )（( k \neq 0 )）的图象上有两点 ( A(x_1, y_1) )，( B(x_2, y_2) )，且 ( x_1 < x_2 < 0 )，则 ( y_1 )__( y_2 )（填“>”、“<”或“=”）。
（2023新教材·综合与实践）如图，小明在距离一棵树 ( 5 ) 米处测得树顶的仰角为 ( 30^\circ )，已知小明的眼睛离地面高度为 ( 1.5 ) 米，则这棵树的高度约为__米（结果保留根号）。
解答题（共55分）
（8分）（2023新教材·数与代数）
（1）计算：( \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} - \tan 60^\circ + (π-3)^0 )。
（2）先化简，再求值：( \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \div \frac{x+2}{x-2} )，( x = \sqrt{2} )。（8分）（2023新教材·方程与不等式）
解不等式组：( \begin{cases} 2x + 1 > 3(x-1) \ \frac{x+2}{2} \leq x \end{cases} )，并把解集在数轴上表示出来。（8分）（2023新教材·统计与概率）
某中学开展“垃圾分类”知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取 ( 10 ) 名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 ( x ) 表示，共分成四组：A. ( 60 \leq x < 70 )；B. ( 70 \leq x < 80 )；C. ( 80 \leq x < 90 )；D. ( 90 \leq x \leq 100 )），下面给出了部分信息：
七年级 ( 10 ) 名学生的成绩：( 81, 85, 88, 90, 92, 93, 93, 95, 99, 100 )。
八年级 ( 10 ) 名学生的成绩在 C 组中的数据是：( 82, 84, 86, 88 )。
八年级抽取的学生成绩扇形统计图如下（略，已知：A组 ( 10\% )，B组 ( 20\% )，C组 ( 40\% )，D组 ( 30\% )）。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 ( a, b, c ) 的值：( a = )__，( b = )__，( c = )__；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对“垃圾分类”知识掌握得更好？请说明理由。（9分）（2023新教材·综合与实践）
某商店销售一种进价为 ( 20 ) 元/件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 ( y )（件）与销售单价 ( x )（元/件）满足一次函数关系：( y = -2x + 80 )（( 20 \leq x \leq 40 )）。
（1）设该商店每天销售该商品的利润为 ( w ) 元，求 ( w ) 与 ( x ) 之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天销售该商品的利润最大？最大利润是多少元？（10分）（2023新教材·几何）
如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( AB = AC )，以 ( AB ) 为直径作 ( \odot O ) 交 ( BC ) 于点 ( D )，过点 ( D ) 作 ( \odot O ) 的切线 ( DE )，交 ( AC ) 于点 ( E )。
（1）求证：( DE \perp AC )；
（2）若 ( AB = 10 )，( BC = 12 )，求 ( DE ) 的长。（12分）（2023新教材·函数综合）
如图，抛物线 ( y = ax^2 + bx + 3 )（( a \neq 0 )）与 ( x ) 轴交于 ( A(-1, 0) )，( B(3, 0) ) 两点，与 ( y ) 轴交于点 ( C )。
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 ( P ) 是抛物线对称轴上的一个动点，当 ( \triangle PAC ) 的周长最小时，求点 ( P ) 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点 ( Q )，使 ( \triangle ACQ ) 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 ( Q ) 的坐标；若不存在，请说明理由。
2025年初中数学学业水平测试卷（参考答案）
选择题
A 2. A 3. A 4. C 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10. C
填空题11. (-5)
12. ( \begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases} )
13. ( 8 )
14. ( < )
15. ( \frac{5\sqrt{3}}{3} + 1.5 ) 或 ( \frac{5\sqrt{3}+4.5}{3} )
解答题16. （1）( 2 - \sqrt{3} + 1 = 3 - \sqrt{3} )
（2）原式 ( = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{x+2} = 1 )，当 ( x = \sqrt{2} ) 时，原式 ( = 1 )。
解不等式①得：( x < 4 )；解不等式②得：( x \geq 2 )。
不等式组的解集为 ( 2 \leq x < 4 )，数轴表示略。（1）( a = 40 )（七年级成绩中位数），( b = 93 )（七年级成绩众数），( c = 88 )（八年级成绩中位数）。
（2）七年级掌握得更好，理由：七年级成绩的平均数、中位数、众数均高于八年级（或七年级的高分段人数更多等，言之有理即可）。（1）( w = (x-20)(-2x+80) = -2x^2 + 120x - 1600 )（( 20 \leq x \leq 40 )）。
（2）( w = -2(x-30)^2 + 200 )，∵ ( -2 < 0 )，∴当 ( x = 30 ) 时，( w_{max} = 200 )。
答：定价30元时利润最大，最大利润为200元。（1）证明：连接 ( OD )。∵ ( AB=AC )，∴ ( \angle B=\angle C )。∵ ( OB=OD )，∴ ( \angle B=\angle ODB )，∴ ( \angle ODB=\angle C )，∴ ( OD \parallel AC )。∵ ( DE ) 是切线，∴ ( OD \perp DE )，∴ ( DE \perp AC )。
（2）解：连接 ( AD )。∵ ( AB ) 是直径，∴ ( AD \perp BC )。∵ ( AB=AC )，( BC=12 )，∴ ( BD=DC=6 )，在 ( Rt\triangle ABD ) 中，( AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 8 )，由面积法：( \frac{1}{2} AC \cdot DE = \frac{1}{2} DC \cdot AD )，即 ( \frac{1}{2} \times 10 \times DE = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 )，解得 ( DE = 4.8 )。（1）将 ( A(-1,0) )，( B(3,0) ) 代入得：( \begin{cases} a-b+3=0 \ 9a+3b+3=0 \end{cases} )，解得 ( a=-1, b=2 )，∴ ( y = -x^2+2x+3 )。
（2）对称轴为直线 ( x=1 )，点 ( A ) 关于对称轴的对称点为 ( B(3,0) )，连接 ( BC ) 交对称轴于点 ( P )，( \triangle PAC ) 周长最小，设直线 ( BC )：( y=kx+m )，代入 ( B(3,0) )，( C(0,3) ) 得 ( k=-1, m=3 )，∴ ( y=-x+3 )，当 ( x=1 ) 时，( y=2 )，∴ ( P(1,2) )。
（3）存在，点 ( Q ) 的坐标为 ( (1, 1) )，( (1, 2) )，( (1, -3) )，( (1, 4) )。（需分类讨论以 ( A, C, Q ) 为直角顶点的三种情况，过程略）
试卷说明：本卷严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及2023年最新修订的初中数学教材知识体系命制，涵盖数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域，注重考查核心素养与知识应用能力。