（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1,2,3,4,5} )，集合 ( A = {1,3} )，( B = {3,4,5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1,3} ) \quad D. ( {1,2} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
下列函数中，与函数 ( y = x ) 表示同一函数的是（ ） A. ( y = \sqrt{x^2} ) \quad B. ( y = (\sqrt{x})^2 ) \quad C. ( y = \frac{x^2}{x} ) \quad D. ( y = \sqrt[3]{x^3} )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad C. ( ac^2 > bc^2 ) \quad D. ( a(c^2+1) > b(c^2+1) )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ） A. ( [1, +\infty) ) \quad B. ( [1,3) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( (1,3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( [1,3) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \leq 1 \ -x+3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 5 \quad B. 3 \quad C. 2 \quad D. 1
已知 ( x > -2 )，则 ( x + \frac{4}{x+2} ) 的最小值为（ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 5
若不等式 ( ax^2 + bx + 2 > 0 ) 的解集为 ( { x \mid -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} } )，则 ( a + b = )（ ） A. -10 \quad B. -14 \quad C. 10 \quad D. 14
函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} ) 的图象大致为（ ） A. \quad B. \quad C. \quad D. （此处为图像描述：A. 过原点递增的曲线 B. 过原点递减的曲线 C. 在y轴上方递增的曲线 D. 在y轴上下方递减的曲线）
设 ( a = \log_2 0.3 )，( b = 2^{0.3} )，( c = 0.3^{0.2} )，则（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( a < c < b ) \quad C. ( b < a < c ) \quad D. ( c < a < b )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x \geq 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) ) \quad B. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) C. ( (-2, 0) \cup (0, 2) ) \quad D. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} |\log_2 x|, & 0 < x \leq 4 \ -x^2 + 10x - 20, & x > 4 \end{cases} )，若方程 ( f(x) = m ) 有四个不同的实数根 ( x_1, x_2, x_3, x_4 )，且 ( x_1 < x_2 < x_3 < x_4 )，则 ( \frac{x_3 + x_4}{x_1 \cdot x_2} ) 的取值范围是（ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, 4) ) \quad D. ( (4, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + (\log_3 18 - \log_3 2) \times \log_2 3 = )__。
已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 5 )，且 ( f(-2) = 7 )，则 ( f(2) = )__。
若正实数 ( x, y ) 满足 ( 2x + y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (x^2 - ax + 3) ) (( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )) 在区间 ( (-\infty, 1] ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知集合 ( A = { x \mid -2 \leq x \leq 5 } )，( B = { x \mid m+1 \leq x \leq 2m-1 } )。 （1）若 ( m = 4 )，求 ( A \cup B )，( A \cap B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3) x^{m^2 - m - 2} ) 的图象关于 ( y ) 轴对称。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若 ( f(a+1) < f(3-2a) )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_2 (4^x + 1) + kx ) 为偶函数。 （1）求实数 ( k ) 的值； （2）若方程 ( f(x) = m ) 有实数根，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 （1）将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少元？
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{a + 2^{x+1}} ) 是奇函数。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）判断并证明 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性； （3）若对任意的 ( t \in \mathbb{R} )，不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
2025年高一数学人教版第一学期综合测试卷参考答案
选择题
- A \quad 2. B \quad 3. D \quad 4. D \quad 5. B \quad 6. C
- A \quad 8. B \quad 9. A \quad 10. B \quad 11. B \quad 12. D
填空题13. ( 5 ) \quad 14. ( 3 ) \quad 15. ( 8 ) \quad 16. ( (1, 2] )
解答题17. （10分） （1）当 ( m=4 ) 时，( B = { x \mid 5 \leq x \leq 7 } )， ( A \cup B = { x \mid -2 \leq x \leq 7 } )， ( A \cap B = { x \mid 5 \leq x \leq 5 } = {5} )。 （2）若 ( B = \varnothing )，则 ( m+1 > 2m-1 )，解得 ( m < 2 )。 若 ( B \neq \varnothing )，则 ( \begin{cases} m+1 \leq 2m-1 \ m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases} ) 解得 ( 2 \leq m \leq 3 )。 综上，( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, 3] )。
（12分） （1）由幂函数定义得 ( m^2 - 3m + 3 = 1 )，解得 ( m=1 ) 或 ( m=2 )。 当 ( m=1 ) 时，( f(x)=x^{-2} )，图象关于 ( y ) 轴对称，符合。 当 ( m=2 ) 时，( f(x)=x^{0}=1 )（常数函数），图象关于 ( y ) 轴对称，也符合，但通常幂函数指数不为0，且常数函数单调性讨论较特殊，本题取 ( m=1 )，故 ( f(x)=x^{-2} )。 （2）( f(x)=x^{-2} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减。 由 ( f(a+1) < f(3-2a) ) 得： ( \begin{cases} a+1 > 0 \ 3-2a > 0 \ a+1 > 3-2a \end{cases} ) 解得 ( \frac{2}{3} < a < \frac{3}{2} )。
（12分） （1）( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [0, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )， ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 由 ( 0 \leq x_1 < x_2 )，知 ( x_1 - x_2 < 0 )，( (x_1+1)(x_2+1) > 0 )， 故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x2) )，所以单调递增。 （2）由（1）知 ( f(x) ) 在 ( [2,5] ) 上递增，( f(x){\min} = f(2)=1 )，( f(x)_{\max} = f(5)=\frac{3}{2} )。 值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
（12分） （1）由偶函数得 ( f(-x)=f(x) )， ( \log_2(4^{-x}+1) - kx = \log_2(4^x+1)+kx )， ( \log_2 \frac{4^x+1}{4^x} - kx = \log_2(4^x+1)+kx )， ( \log_2(4^x+1) - 2x - kx = \log_2(4^x+1)+kx )， 得 ( -2x - kx = kx )，即 ( (2k+2)x=0 ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 成立，故 ( k=-1 )。 （2）( f(x) = \log_2(4^x+1) - x = \log_2 \frac{4^x+1}{2^x} = \log_2 (2^x + 2^{-x}) )。 由 ( 2^x + 2^{-x} \geq 2 )（当且仅当 ( x=0 ) 时取等）， 故 ( f(x) \geq \log_2 2 = 1 )。 ( m ) 的取值范围是 ( [1, +\infty) )。
（12分） （1）设月产量为 ( x ) 台，则总成本为 ( 20000 + 100x ) 元。 月利润 ( f(x) = R(x) - (20000 + 100x) )， 即 [ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ] （2）当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( f(x) = -\frac{1}{2}(x-300)^2 + 25000 )， 当 ( x=300 ) 时，( f(x)_{\max} = 25000 )。 当 ( x > 400 ) 时，( f(x) = 60000 - 100x ) 单调递减，( f(x) < 60000 - 40000 = 20000 < 25000 )。 故当月产量为300台时，月利润最大,为25000元。
（12分） （1）由 ( f(0)=0 ) 得 ( \frac{b-1}{a+2}=0 )，故 ( b=1 )。 由 ( f(-1) = -f(1) ) 得 ( \frac{1-\frac{1}{2}}{a+1} = -\frac{1-2}{a+4} )，解得 ( a=2 )。 经检验，( a=2, b=1 ) 时，( f(x) ) 为奇函数。 （2）( f(x) = \frac{1-2^x}{2+2^{x+1}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{2^x+1} )。 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} )，且 ( x_1 < x_2 )， ( f(x_1)-f(x_2) = -\frac{1}{2} \left( \frac{2^{x_1}-1}{2^{x_1}+1} - \frac{2^{x_2}-1}{2^{x_2}+1} \right) = \frac{2^{x_2} - 2^{x_1}}{(2^{x_1}+1)(2^{x_2}+1)} )。 由 ( x_1 < x_2 ) 知 ( 2^{x_2} - 2^{x_1} > 0 )，分母大于0，故 ( f(x_1) > f(x_2) )，得证。 （3）由奇函数和单调递减，不等式化为： ( f(t^2-2t) < -f(2t^2-k) = f(k-2t^2) )， 故 ( t^2 - 2t > k - 2t^2 )， 即 ( 3t^2 - 2