数学（理科）模拟试卷
注意事项：
- 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 < 0 } )，( B = { x \mid 1 \leq x \leq 3 } )，则 ( A \cap B = )
A. ( { x \mid 1 < x < 2 } )
B. ( { x \mid 1 \leq x < 2 } )
C. ( { x \mid 1 < x \leq 3 } )
D. ( { x \mid 1 \leq x \leq 2 } )若复数 ( z ) 满足 ( z(1 + i) = 2i )，则 ( z ) 的虚部为
A. ( 1 )
B. ( -1 )
C. ( i )
D. ( -i )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( m = )
A. ( 2 )
B. ( -2 )
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5) ) 的单调递增区间是
A. ( (-\infty, 2) )
B. ( (2, +\infty) )
C. ( (-\infty, 1) )
D. ( (3, +\infty) )已知等差数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60已知 ( \alpha ) 为第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \tan 2\alpha = )
A. ( \frac{24}{7} )
B. ( -\frac{24}{7} )
C. ( \frac{7}{24} )
D. ( -\frac{7}{24} )已知抛物线 ( y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线交抛物线于 ( A, B ) 两点，若 ( |AF| = 3 )，则 ( |BF| = )
A. ( \frac{3}{2} )
B. ( 2 )
C. ( 3 )
D. ( 4 )已知函数 ( f(x) = e^x - ax ) 有两个不同的零点，则实数 ( a ) 的取值范围是
A. ( (0, e) )
B. ( (e, +\infty) )
C. ( (0, 1) )
D. ( (1, +\infty) )
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则
A. ( \omega = 2 )
B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} )
C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于点 ( \left( \frac{\pi}{6}, 0 \right) ) 对称
D. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 上单调递增（注：此处应有图，图中显示周期为 ( \pi )，过点 ( (0, \frac{1}{2}) ) 且上升）
已知正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 的棱长为 2，则
A. 异面直线 ( A_1B ) 与 ( AD_1 ) 所成角为 ( 60^\circ )
B. 点 ( A_1 ) 到平面 ( BCD_1 ) 的距离为 ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )
C. 三棱锥 ( A_1-BCD_1 ) 的体积为 ( \frac{4}{3} )
D. 平面 ( A_1BD ) 与平面 ( BCD_1 ) 所成二面角的正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )已知双曲线 ( C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0) ) 的离心率为 ( 2 )，过其右焦点 ( F ) 的直线与双曲线交于 ( A, B ) 两点，则
A. 双曲线 ( C ) 的渐近线方程为 ( y = \pm \sqrt{3}x )
B. 满足 ( |AB| = 6a ) 的直线有且仅有 1 条
C. 若 ( A, B ) 在双曲线的同一支上，则 ( |AB| \geq 4a )
D. 若 ( A, B ) 分别在双曲线的左、右两支上，则 ( |AB| \geq 8a )
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知 ( (x + \frac{1}{x})^n ) 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中常数项为__。
已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 )，过点 ( P(1, 0) ) 作圆 ( C ) 的两条切线，切点分别为 ( A, B )，则直线 ( AB ) 的方程为__。
已知 ( \triangle ABC ) 的内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( a \cos B + b \cos A = 2c \cos C )，( c = 2 )，则 ( \triangle ABC ) 面积的最大值为__。
解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）
已知数列 ({ a_n }) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )。
（1）证明：数列 ({ a_n + 1 }) 为等比数列；
（2）求数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和 ( S_n )。（15分）
如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，( BC = 2\sqrt{2} )，点 ( E ) 为棱 ( PD ) 的中点。
（1）证明：( PB \parallel ) 平面 ( ACE )；
（2）求二面角 ( E-AC-D ) 的正弦值。（15分）
已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 )。
（1）求函数 ( f(x) ) 的极值；
（2）若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = k ) 有三个不同的实数根，求实数 ( k ) 的取值范围。（17分）
已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( \left( 1, \frac{3}{2} \right) )。
（1）求椭圆 ( C ) 的标准方程；
（2）设过点 ( M(1, 0) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，问：在 ( x ) 轴上是否存在定点 ( N )，使得直线 ( NA ) 与 ( NB ) 的斜率之和为 0？若存在，求出点 ( N ) 的坐标；若不存在，请说明理由。（17分）
已知函数 ( f(x) = \ln x - ax + 1 )。
（1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性；
（2）若 ( f(x) \leq 0 ) 对任意 ( x > 0 ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围；
（3）当 ( a = 1 ) 时，证明：( \sum{k=1}^n \frac{1}{k+1} < \ln(n+1) < \sum{k=1}^n \frac{1}{k} )（( n \in \mathbb{N}^* )）。
参考答案与评分标准
选择题
A 2. A 3. A 4. B 5. A 6. B 7. A 8. B
多选题
ABD 10. ABD 11. AC
填空题
( 70 ) 13. ( x + y - 3 = 0 ) 14. ( \sqrt{3} )
解答题
- （1）略 （2）( S_n = 2^{n+1} - n - 2 )
- （1）略 （2）( \frac{\sqrt{6}}{3} )
- （1）极大值 ( f(0) = 2 )，极小值 ( f(2) = -2 ) （2）( (-2, 2) )
- （1）( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 ) （2）存在，( N(4, 0) )
- （1）当 ( a \leq 0 ) 时，在 ( (0, +\infty) ) 单调递增；当 ( a > 0 ) 时，在 ( (0, \frac{1}{a}) ) 单调递增，在 ( (\frac{1}{a}, +\infty) ) 单调递减
（2）( a \geq 1 )
（3）略
试卷说明：
本模拟试卷严格遵循高考数学命题风格，涵盖函数、几何、代数、概率统计等主干知识，注重基础性与综合性，旨在考查学生的数学思维与解决实际问题的能力。