2025年高中数学公式综合测试卷（带答案）

选择题（每题5分，共30分）

1. 一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的求根公式是： A. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) B. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a} ) C. ( x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) D. ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{a} )

2. 两角和的正弦公式为： A. ( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B ) B. ( \sin(A+B) = \sin A \sin B + \cos A \cos B ) C. ( \sin(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B ) D. ( \sin(A+B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B )

3. 点到直线 ( Ax + By + C = 0 ) 的距离公式是： A. ( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ) B. ( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{A^2 + B^2} ) C. ( d = \frac{|Ax_0 + By_0|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ) D. ( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A + B}} )

4. 等差数列的前 ( n ) 项和公式为： A. ( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ) B. ( S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d ) C. 以上两者都是 D. ( S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} )

5. 向量 ( \vec{a} = (x_1, y_1) ) 与 ( \vec{b} = (x_2, y_2) ) 的数量积公式是： A. ( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 - y_1 y_2 ) B. ( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta ) C. ( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 ) D. B和C都正确

6. 球的表面积公式是： A. ( S = 4\pi r^2 ) B. ( S = \frac{4}{3}\pi r^3 ) C. ( S = 2\pi r^2 ) D. ( S = \pi r^2 )

填空题（每空4分，共32分）

7. 三角函数的平方关系：( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = )__。
8. 对数运算公式：( \log_a (MN) = )__+__。
9. 二项式定理：( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} )__( a^{n-k} b^k )。
10. 诱导公式：( \sin(\pi - \alpha) = )__。
11. 余弦定理：( a^2 = )__+__- ( 2bc \cos A )。
12. 等比数列的通项公式：( a_n = )__。
13. 圆的面积公式：( S = )__。
14. 导数基本公式：若 ( f(x) = x^n )，则 ( f'(x) = )__。

解答题（共38分）

15. （12分）写出椭圆（焦点在x轴）、双曲线（焦点在x轴）和抛物线（开口向右）的标准方程及其离心率公式。

16. （14分）已知函数 ( f(x) = \sin x )。 (1) 写出 ( f(x) ) 的最小正周期。 (2) 写出 ( f(x) ) 的导数公式。 (3) 写出 ( f(x) ) 的不定积分公式。

17. （12分）写出以下概率与统计中的关键公式： (1) 古典概型中事件A的概率公式。 (2) 样本标准差的计算公式（给出总体标准差公式亦可）。 (3) 线性回归方程 ( \hat{y} = bx + a ) 中，回归系数 ( b ) 的计算公式。

2025年高中数学公式综合测试卷答案

选择题

1. A
2. A
3. A
4. C
5. D
6. A

填空题7. 1 8. ( \log_a M + \log_a N ) 9. ( C_n^k ) 或 ( \binom{n}{k} ) 10. ( \sin \alpha ) 11. ( b^2 + c^2 ) 12. ( a_1 q^{n-1} ) 13. ( \pi r^2 ) 14. ( nx^{n-1} )

解答题15.

• 椭圆：方程 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ) (a>b>0)，离心率 ( e = \frac{c}{a} )，( c^2 = a^2 - b^2 )。
• 双曲线：方程 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 )，离心率 ( e = \frac{c}{a} )，( c^2 = a^2 + b^2 )。
• 抛物线：方程 ( y^2 = 2px ) (p>0)，离心率 ( e = 1 )。

16. (1) 最小正周期 ( T = 2\pi )。 (2) 导数 ( f'(x) = \cos x )。 (3) 不定积分 ( \int \sin x \, dx = -\cos x + C )。

17. (1) ( P(A) = \frac{m}{n} )，( m ) 是事件A包含的基本事件数，( n ) 是基本事件总数。 (2) 总体标准差 ( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (xi - \mu)^2} )，样本标准差 ( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum{i=1}^{n} (xi - \bar{x})^2} )。 (3) ( b = \frac{\sum{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(yi - \bar{y})}{\sum{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} )。