（满分：120分 考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列函数中,是二次函数的是（ ） A. y = 2x - 1 B. y = 3/x C. y = x² + 2x D. y = √x
已知二次函数y = (x-1)² + 2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是(1, 2) C. 对称轴是x = -1 D. 有最大值2
在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA = 2/3，则cosA的值为（ ） A. √5/3 B. 3/2 C. 2/3 D. 1/3
如图,已知⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 70° D. 110°
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是（ ） （此处应有简单三视图图样，描述为：主视图和左视图为矩形，俯视图为圆） A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球
已知反比例函数y = k/x (k≠0)的图象经过点(2, -3)，则下列各点也在此函数图象上的是（ ） A. (-2, 3) B. (3, 2) C. (-3, -2) D. (1, 6)
关于x的一元二次方程x² - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1
如图,在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，DE=4，则BC的长为（ ） A. 6 B. 20/3 C. 8 D. 10
下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
二次函数y = ax² + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b² - 4ac > 0，其中正确的个数是（ ） （此处应有抛物线图象，描述为：开口向下，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
已知∠A是锐角，且tanA = √3，则∠A =__度。
将抛物线y = 2x²先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是__。
若圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是__cm²。
如图,在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为__。
如图,PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=50°，则∠BAC =__度。
在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,3)，若点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为__。
解答题（本大题共9小题，共72分）
（6分）计算：|-2| + (π-3)⁰ - √9 + 2sin60°。
（6分）解方程：x² - 4x - 5 = 0。
（6分）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4√2，求AB的长。
（8分）已知关于x的一元二次方程x² + 2x + k - 1 = 0有实数根。 （1）求k的取值范围； （2）当k取满足条件的最大整数时，求此时方程的根。
（8分）如图，一次函数y1 = kx + b的图象与反比例函数y2 = m/x的图象交于A(-2, 1)，B(1, n)两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当y1 > y2时，x的取值范围。
（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB延长线上一点，∠BCD=∠A。 （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠A=30°，求图中阴影部分的面积。
（10分）某商场销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出200件，经调查发现，若每件商品降价1元，则每天可多售出20件。 （1）若商场计划每天盈利2160元，且让顾客得到实惠，每件商品应降价多少元？ （2）每件商品降价多少元时，商场每天销售此商品的利润最大？最大利润是多少？
（10分）【问题探究】 （1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，求证：AD/AB = AE/AC。 【知识应用】 （2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠B，求证：△ABD∽△DCE。 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=6，CD=3，BC=8，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），连接AP、DP，当△ABP与△PCD相似时，求BP的长。
（10分）如图，抛物线y = ax² + bx + 3 (a≠0)与x轴交于点A(-1, 0)，点B(3, 0)，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2025年初三数学下册（人教版）学业水平测试卷（参考答案）
选择题
C 2. B 3. A 4. C 5. B 6. A 7. B 8. B 9. D 10. C
填空题11. 60 12. y = 2(x-3)² + 1 13. 15π 14. 2 （根据网格图形计算） 15. 25 16. (4, 3) 或 (-2, 3) 或 (2, -3)
解答题17. 解：原式=2+1-3+2×(√3/2)=√3。 18. 解：(x-5)(x+1)=0， x1=5， x2=-1。 19. 解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=4√2，∴AD=CD=4，在Rt△ADB中，∠B=30°，AD=4，∴AB=2AD=8。 20. 解：（1）∵方程有实数根，∴Δ=4 - 4(k-1) ≥ 0，解得 k ≤ 2。 （2）k的最大整数为2，此时方程为x²+2x+1=0，即(x+1)²=0，解得x1=x2=-1。 21. 解：（1）将A(-2,1)代入y2=m/x，得m=-2，∴反比例函数解析式为y2=-2/x，将B(1,n)代入y2=-2/x，得n=-2，∴B(1,-2)，将A(-2,1)，B(1,-2)代入y1=kx+b，解得k=-1，b=-1，∴一次函数解析式为y1=-x-1。 （2）由图象可知，当y1 > y2时，x的取值范围是x < -2 或 0 < x < 1。 22. （1）证明：连接OC。∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°。∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB，又∵∠BCD=∠A，∴∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线。 （2）解：∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，在Rt△OCD中，OC=3，∠COD=60°，∴CD=OC·tan60°=3√3，S阴影 = S△OCD - S扇形OBC = (1/2×3×3√3) - (60π×3²/360) = (9√3/2) - (3π/2) = (9√3 - 3π)/2。 23. 解：（1）设每件商品降价x元，根据题意，得 (30-20-x)(200+20x) = 2160，整理得 x² - 10x + 16 = 0，解得 x1=2， x2=8。∵要让顾客得到实惠，∴取x=8，答：每件商品应降价8元。 （2）设每天利润为w元，w = (10-x)(200+20x) = -20x² + 200x + 2000 = -20(x-5)² + 2500。∵-20<0，∴当x=5时，w有最大值2500，答：每件商品降价5元时，利润最大，最大利润为2500元。 24. （1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴AD/AB = AE/AC。 （2）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，且∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE。 （3）解：设BP=x，则PC=8-x。∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，又∠B=90°，∴∠C=90°，分两种情况：①当△ABP∽△PCD时，AB/PC = BP/CD，即6/(8-x) = x/3，解得x=2或x=6。②当△ABP∽△DCP时，AB/CD = BP/PC，即6/3 = x/(8-x)，解得x=16/3，经检验，x=2，6，16/3均符合题意。∴BP的长为2或6或16/3。 25. 解：（1）将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax²+bx+3，得a-b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=-1，b=2。∴抛物线解析式为y = -x² + 2x + 3。 （2）抛物线对称轴为直线x=1，点A关于对称轴的对称点为点B(3,0)，连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC=PB+PC=BC最小，△PAC周长最小，设直线BC解析式为y=kx+3，将B(3,0)代入得0=3k+3，k=-1，∴直线BC：y=-x+3，当x=1时，y=2，∴点P坐标为(1,2)。 （3）存在，设Q(1, t)，A(-1,0)，C(0,3)，则QA²=(1+1)²+(t-0)²=4+t²，QC²=(1-0)²+(t-3)²=1+(t-3)²，AC²=(-1-0)²+(0-3)²=10，分三种情况：①当∠QAC=90°时，QA²+AC²=QC²，即4+t²+10=1+(t-3)²，解得t=-1/3，∴Q1(1, -1/3)。②当∠ACQ=90°时，AC²+QC²=QA²，即10+1+(t-3)²=4+t²，解得t=8/3，∴Q2(1, 8/3)。③当∠AQC=90°时，QA²+QC²=AC²，即4+t²+1+(t-3)²=10，整理得t²-3t+2=0，解得t=1或t=2，∴Q3(1,1)，Q4(1,2)（与P点重合），点Q的坐标为(1, -1/3) 或 (1, 8/3) 或 (1, 1) 或 (1, 2)。