2025年高一数学必修二综合测试卷

（本试卷参考高一数学课本电子版必修二内容编制）

选择题（每题5分，共40分）

1. 在空间直角坐标系中,点 ( P(-3, 4, 5) ) ( xOy ) 平面的对称点坐标是（ ）
   A. ( (3, -4, 5) )
   B. ( (-3, 4, -5) )
   C. ( (3, 4, 5) )
   D. ( (-3, -4, 5) )

2. 已知直线 ( l_1: y = 2x + 1 ) 与直线 ( l_2: y = kx - 3 ) 平行，则 ( k ) 的值为（ ）
   A. ( 2 )
   B. ( -2 )
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

3. 圆 ( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 ) 的圆心坐标和半径分别为（ ）
   A. ( (2, -3), 4 )
   B. ( (-2, 3), 4 )
   C. ( (2, -3), 2 )
   D. ( (-2, 3), 2 )

4. 已知 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos \alpha = )（ ）
   A. ( \frac{4}{5} )
   B. ( -\frac{4}{5} )
   C. ( \frac{3}{4} )
   D. ( -\frac{3}{4} )

5. 在正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，异面直线 ( A_1B ) 与 ( AD_1 ) 所成角的大小为（ ）
   A. ( 30^\circ )
   B. ( 45^\circ )
   C. ( 60^\circ )
   D. ( 90^\circ )

6. 已知 ( \triangle ABC ) 中，( a = 3, b = 4, \sin C = \frac{1}{2} )，则 ( S_{\triangle ABC} = )（ ）
   A. ( 3 )
   B. ( 6 )
   C. ( 12 )
   D. ( 24 )

7. 若直线 ( l: x - y + m = 0 ) 与圆 ( x^2 + y^2 = 2 ) 相切，则 ( m = )（ ）
   A. ( \pm 1 )
   B. ( \pm 2 )
   C. ( \pm \sqrt{2} )
   D. ( \pm 2\sqrt{2} )

8. 已知 ( \vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( |\vec{b}| = )（ ）
   A. ( 2\sqrt{5} )
   B. ( 4\sqrt{2} )
   C. ( 8 )
   D. ( 10 )

填空题（每题5分，共20分）

9. 已知 ( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3} )，则 ( \sin 2\theta = ______ )。

10. 过点 ( (1, 2) ) 且与直线 ( 2x - 3y + 4 = 0 ) 垂直的直线方程为 ______。

11. 在 ( \triangle ABC ) 中，若 ( a = 5, b = 7, c = 8 )，则 ( \cos B = ______ )。

12. 已知球的表面积为 ( 36\pi )，则其体积为 ______。

解答题（共40分）

13. （10分）
    已知 ( \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) )，( \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) )，且 ( \sin \alpha = \frac{5}{13} )，( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} )。
    求 ( \cos \beta ) 的值。

14. （10分）
    如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )。
    （1）求证：( CD \perp PD )；
    （2）求直线 ( PB ) 与平面 ( PCD ) 所成角的正弦值。

15. （10分）
    已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0 )。
    （1）求圆 ( C ) 的圆心坐标及半径；
    （2）若直线 ( l: kx - y - 2k + 3 = 0 ) 与圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，求 ( k ) 的值。

16. （10分）
    在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。
    （1）求角 ( C ) 的大小；
    （2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，求 ( \triangle ABC ) 面积的最大值。

2025年高一数学必修二综合测试卷（带答案）

选择题答案

1. B
2. A
3. A
4. B
5. C
6. A
7. B
8. A

填空题答案
9. ( -\frac{8}{9} )
10. ( 3x + 2y - 7 = 0 )
11. ( \frac{1}{7} )
12. ( 36\pi )

解答题答案
13. 解：
∵ ( \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) )，( \sin \alpha = \frac{5}{13} )，
∴ ( \cos \alpha = \frac{12}{13} )。
∵ ( \alpha + \beta \in (0, \pi) )，( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} )，
∴ ( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} )。
( \cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos(\alpha + \beta)\cos\alpha + \sin(\alpha + \beta)\sin\alpha )
( = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{48}{65} + \frac{15}{65} = -\frac{33}{65} )。

14. 解：
    （1）∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( CD \subset ) 平面 ( ABCD )，
    ∴ ( PA \perp CD )。
    又 ( ABCD ) 为矩形，∴ ( CD \perp AD )。
    ∵ ( PA \cap AD = A )，∴ ( CD \perp ) 平面 ( PAD )。
    ∵ ( PD \subset ) 平面 ( PAD )，∴ ( CD \perp PD )。
    （2）以 ( A ) 为原点建立空间直角坐标系，则
    ( B(1,0,0), P(0,0,2), C(1,2,0), D(0,2,0) )。
    ( \vec{PB} = (1,0,-2), \vec{PC} = (1,2,-2), \vec{PD} = (0,2,-2) )。
    设平面 ( PCD ) 的法向量 ( \vec{n} = (x,y,z) )，则
    ( \vec{n} \cdot \vec{PC} = x + 2y - 2z = 0 )，
    ( \vec{n} \cdot \vec{PD} = 2y - 2z = 0 )，取 ( y = 1 )，得 ( \vec{n} = (0,1,1) )。
    设直线 ( PB ) 与平面 ( PCD ) 所成角为 ( \theta )，则
    ( \sin\theta = \frac{|\vec{PB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PB}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5} )。

15. 解：
    （1）圆 ( C ) 化为标准方程：( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 4 )，
    圆心 ( (3,4) )，半径 ( r = 2 )。
    （2）圆心到直线 ( kx - y - 2k + 3 = 0 ) 的距离
    ( d = \frac{|3k - 4 - 2k + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} )。
    由 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，得 ( d^2 = r^2 - \left(\frac{|AB|}{2}\right)^2 = 4 - 3 = 1 )。
    即 ( \frac{(k-1)^2}{k^2+1} = 1 )，解得 ( k = 0 )。

16. 解：
    （1）由正弦定理，( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )
    ⇒ ( \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\cos C}{\sin C} )
    ⇒ ( \cot A + \cot B = 2\cot C )。
    又 ( \cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} )，
    代入得 ( \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = 2 \cdot \frac{\cos C}{\sin C} )
    ⇒ ( \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C )。
    由正弦定理，( \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C )
    ⇒ ( c^2 = 2ab\cos C )。
    由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C )，
    得 ( a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 2ab\cos C )
    ⇒ ( a^2 + b^2 = 4ab\cos C )。
    又 ( a^2 + b^2 \geq 2ab )，∴ ( 4ab\cos C \geq 2ab ) ⇒ ( \cos C \geq \frac{1}{2} )。
    当且仅当 ( a = b ) 时取等，( \cos C = \frac{1}{2} )，( C = \frac{\pi}{3} )。
    （2）由（1）及 ( c = 2\sqrt{3} )，( C = \frac{\pi}{3} )，
    由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - ab )，得 ( 12 = a^2 + b^2 - ab \geq ab )（当 ( a = b ) 时取等）。
    ∴ ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C \leq \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} )。
    面积最大值为 ( 3\sqrt{3} )。

试卷说明：本试卷严格依据高一数学必修二（电子版）教材核心知识点命题，涵盖立体几何初步、平面解析几何、三角函数与解三角形等内容，难度适中，适合阶段检测使用。