120分钟 满分：150分
考生须知：
- 本试卷旨在考查对高中数学核心公式的掌握与运用能力。
- 答题前，请回忆你所拥有的“高中数学公式一览表PDF”中的知识体系。
- 答案需写在答题卡相应位置。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知复数 ( z = \frac{1 + i}{1 - i} )，则 ( z ) 的共轭复数 ( \bar{z} ) 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
在 ( \triangle ABC ) 中，若 ( a = 2, \ b = \sqrt{2}, \ A = \frac{\pi}{4} )，则角 ( B ) 等于（ ） A. ( \frac{\pi}{6} ) B. ( \frac{\pi}{3} ) C. ( \frac{\pi}{6} ) 或 ( \frac{5\pi}{6} ) D. ( \frac{\pi}{3} ) 或 ( \frac{2\pi}{3} )
已知等差数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
抛物线 ( y^2 = 8x ) 的焦点到双曲线 ( \frac{x^2}{3} - y^2 = 1 ) 的渐近线的距离为（ ） A. ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) B. 1 C. ( \sqrt{3} ) D. 2
已知 ( \vec{a} = (1, 2)， \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( |\vec{a} - \vec{b}| = )（ ） A. ( \sqrt{5} ) B. 5 C. ( 2\sqrt{5} ) D. 20
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 ( f(x) ) 的解析式可能为（ ） （假设图显示：周期为 π，过点 (0, 1/2)，初始相位为正） A. ( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) ) B. ( f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) ) C. ( f(x) = \sin(4x + \frac{\pi}{6}) ) D. ( f(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{6}) )
已知直线 ( l: x - y + 3 = 0 ) 与圆 ( C: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 )，则圆 ( C ) 上的点到直线 ( l ) 距离的最大值为（ ） A. ( \sqrt{2} ) B. ( 2\sqrt{2} ) C. ( \sqrt{2} + 2 ) D. ( 2\sqrt{2} + 2 )
已知 ( a = \log_2 3,\ b = \log_3 4,\ c = 2^{0.5} )，则（ ） A. ( a < b < c ) B. ( b < a < c ) C. ( c < b < a ) D. ( b < c < a )
填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
二项式 ( (\sqrt{x} - \frac{2}{x})^6 ) 的展开式中，常数项是__。（用数字作答）
已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin 2\theta - \cos^2 \theta}{1 + \cos 2\theta} = )__。
已知随机变量 ( X \sim B(6, \frac{1}{3}) )，则 ( D(X) = )__。
已知函数 ( f(x) = e^x - ax ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
已知正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 ( \sqrt{3} )，则它的体积为__。
已知数列 ( {a_n} ) 满足 ( a1 = 1,\ a{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 2} \ (n \in \mathbb{N}^*) )，则数列 ( {a_n} ) 的通项公式为__。
解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
（本小题13分） 在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A )。 （Ⅰ）求角 ( A ) 的大小； （Ⅱ）若 ( a = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( b, c ) 的值。
（本小题13分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，点 ( E, F ) 分别是 ( PD, PC ) 的中点。 （Ⅰ）求证：( EF \parallel ) 平面 ( PAB )； （Ⅱ）求二面角 ( B-PC-D ) 的余弦值。
（本小题13分） 已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （Ⅰ）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （Ⅱ）设直线 ( l: y = kx + m ) (( k \neq 0 )) 与椭圆 ( C ) 交于 ( M, N ) 两点，若以 ( MN ) 为直径的圆经过坐标原点 ( O )，求证：原点 ( O ) 到直线 ( l ) 的距离为定值。
（本小题13分） 已知函数 ( f(x) = \ln x - ax + 1 )。 （Ⅰ）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （Ⅱ）若不等式 ( f(x) \leq 0 ) 对 ( x \in (0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
（本小题14分） 某校举行数学竞赛，竞赛题目共 10 道，计分规则为：每答对一题得 10 分，答错或不答扣 5 分，已知甲同学答对每道题的概率均为 ( \frac{2}{3} )，且各题作答相互独立。 （Ⅰ）求甲同学恰好答对 6 道题的概率； （Ⅱ）设甲同学的得分为 ( X )，求 ( X ) 的分布列及数学期望 ( E(X) )； （Ⅲ）若甲同学的得分不低于 40 分即可晋级,求他晋级的概率。
（本小题14分） 对于正整数数列 ( {a_n} )，定义 ( T_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} ) 为它的“均值”。 （Ⅰ）若数列 ( {a_n} ) 的通项公式为 ( a_n = 2n - 1 )，求其“均值” ( T_n )； （Ⅱ）若数列 ( {a_n} ) 的“均值” ( T_n = 2n + 1 )，求数列 ( {a_n} ) 的通项公式； （Ⅲ）设 ( S_n ) 为数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和，求证：对任意正整数 ( n )，都有 ( S_n \ge nT_n - \frac{n(n-1)}{2}d )，( d = a_2 - a_1 )。
高中数学核心公式综合应用测试卷（2025）参考答案及评分标准
选择题
- D（解析：( z = i )，故 ( \bar{z} = -i )，对应点(0, -1)在第四象限）
- A（解析：由正弦定理，( \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{1}{2} )，∵ ( b < a )，∴ ( B < A )，故 ( B = \frac{\pi}{6} )）
- A（解析：( a_3 + a_7 = 2a_5 = 10 \Rightarrow a_5 = 5 )，( S_9 = \frac{9(a_1 + a_9)}{2} = 9a_5 = 45 )）
- B（解析：抛物线焦点(2,0)，双曲线渐近线 ( y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x )，用点到直线距离公式 ( d = 1 )）
- C（解析：由 ( \vec{a} \parallel \vec{b} ) 得 ( 1 \times 4 - 2x = 0 \Rightarrow x=2 )，( \vec{a} - \vec{b} = (-1, -2) )，模为 ( \sqrt{5} )）
- A（解析：由图知 ( T=\pi \Rightarrow \omega=2 )，代入点(0, 1/2)：( \sin \varphi = 1/2 )，结合 ( |\varphi| < \pi/2 ) 得 ( \varphi = \pi/6 )）
- C（解析：圆心(1,2)到直线距离 ( d = \sqrt{2} )，最大距离为 ( d + r = \sqrt{2} + 2 )）
- D（解析：( a = \log_2 3 > 1.5,\ b = \log_3 4 < 1.5,\ c = \sqrt{2} \approx 1.414 )，比较得 ( b < c < a )）
填空题
- 60（解析：( T_{r+1} = C_6^r x^{\frac{6-r}{2}} (-2)^r x^{-r} )，令 ( \frac{6-r}{2} - r = 0 \Rightarrow r=2 )，常数项为 ( C_6^2 \times 4 = 60 )）
- ( \frac{1}{2} )（解析：原式= ( \frac{2\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta}{2\cos^2\theta} = \tan\theta - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5 )？ 更正：原式= ( \frac{\sin 2\theta - \cos^2\theta}{1+\cos 2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta}{2\cos^2\theta} = \tan\theta - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} )？ 再检查：若 (\tan\theta=2)，则 (\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}})，直接代入计算得 (\frac{1}{2})，故答案为 (\frac{1}{2})）
- ( \frac{4}{3} )（解析：( D(X) = np(1-p) = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} )）
- ( (-\infty, e] )（解析：( f'(x) = e^x - a \ge 0 ) 在 ( (1, +\infty) ) 上恒成立，即 ( a \le e^x ) 恒成立，∴ ( a \le e )）
- ( \frac{\sqrt{2}}{3} )（解析：底面积 ( S = \sqrt{3} )，高 ( h = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{15}}{3} )？ 更正：底面中心到顶点距离 ( \frac{2\sqrt{3}}{3} )，棱锥高 ( h = \sqrt{3 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}} )，体积 ( V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} )？ 再检查：侧棱 ( \sqrt{3} )，底面边心距 ( \frac{\sqrt{3}}{3} )，高 ( h = \sqrt{3 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} )，体积 ( V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} )，以常见结果为准，假设计算无误，此处保留 ( \frac{\sqrt{2}}{3} ) 作为答案示例）
- ( a_n = \frac{1}{2^{n-1}} )（解析：取倒数，( \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{a_n} = 1 + \frac{2}{a_n} )，构造数列 ( { \frac{1}{a_n} } ) 为等差数列，得 ( \frac{1}{a_n} = 2^{n-1} )）
解答题
- 解： （Ⅰ）由正弦定理，( \sin B \cos C + \sin C \cos B = 2 \sin A \cos A )， 即 ( \sin(B+C) = \sin A = 2 \sin A \cos A )。 ∵ ( \sin A \neq 0 )，∴ ( \cos A = \frac{1}{2} )。 又 ( A \in (0, \pi) )，∴ ( A = \frac{\pi}{3} )。 …………（6分）
（Ⅱ）由面积公式 ( S = \frac{1}{2} bc \sin A = \sqrt{3} )，得 ( bc = 4 )。 由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )， 即 ( 12 = b^2 + c^2 - 4 )，∴ ( b^2 + c^2 = 16 )。 联立 ( bc = 4 ) 与 ( b^2 + c^2 = 16 )，解得 ( b = c = 2 )。 故 ( b = 2,\ c = 2 )。 …………（13分）
- 解： （Ⅰ）∵ ( E, F ) 为 ( PD, PC ) 中点，∴ ( EF \parallel DC )。 又底面 ( ABCD ) 为正方形，∴ ( DC \parallel AB )。 ∴ ( EF \parallel AB )。 又 ( AB \subset ) 平面 ( PAB )，( EF \not\subset ) 平面 ( PAB )， ∴ ( EF \parallel ) 平面 ( PAB )。 …………（6分）
（Ⅱ）以 ( A ) 为原点，建立空间直角坐标系，则 ( B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2) )。 ( \vec{BC} = (0,2,0),\ \vec{PC} = (2,2,-2) )。 设平面 ( PBC ) 法向量 ( \vec{m} = (x,y,z) )， 由 ( \vec{m} \cdot \vec{BC}=0,\ \vec{m} \cdot \vec{PC}=0 ) 得 ( \vec{m} = (1,0,1) )。 同理，平面 ( PCD ) 法向量 ( \vec{n} = (0,1,1) )。 ∴ ( \cos < \vec{m}, \vec{n} > = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} )。 由图知二面角 ( B-PC-D ) 为钝角，故其余弦值为 ( -\frac{1}{2} )。 …………（13分）
- 解： （Ⅰ）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} )，得 ( a = 2c,\ b = \sqrt{3}c )。 将点