- 本试卷旨在系统性考查对高中阶段核心数学公式、定理的记忆、理解与应用能力。
- 全卷分为选择题、填空题、解答题三部分，满分100分，考试时间90分钟。
- 所有答案需写在答题卡指定位置,公式应用需写出关键步骤。
选择题（每题3分，共30分）
下列选项中,表示二项式定理展开式通项公式的是（ ） A. ( T_{r+1} = Cn^r a^{n-r} b^r ) B. ( T{r+1} = Cn^r a^r b^{n-r} ) C. ( T{r} = Cn^r a^{n-r} b^{r-1} ) D. ( T{r} = C_n^{r-1} a^{n-r+1} b^{r-1} )
已知角α终边上一点P(-3, 4)，则sinα, cosα的值分别为（ ） A. ( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} ) B. ( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} ) C. ( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} ) D. ( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} )
等差数列{(a_n)}的前n项和公式为(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2})，其推导所依据的数列性质是（ ） A. (a_n = a_1 + (n-1)d) B. 若m+n=p+q，则(a_m + a_n = a_p + a_q) C. 等差中项性质 D. 数列的单调性
空间直角坐标系中,点A(1,2,3)到平面(2x - y + 2z - 5 = 0)的距离公式应用正确的是（ ） A. ( d = \frac{|2\times1 - 2 + 2\times3 - 5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} ) B. ( d = \frac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times3 - 5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} ) C. ( d = \frac{|2\times1 - 1\times2 + 2\times3 - 5|}{2^2+(-1)^2+2^2} ) D. ( d = \frac{|2\times1 - 2 + 2\times3 - 5|}{\sqrt{2+1+2}} )
复数z=1+i的三角形式是（ ） A. ( \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) ) B. ( 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) ) C. ( \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) ) D. ( 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) )
已知向量(\vec{a}=(2,1)), (\vec{b}=(1,-3))，则(\vec{a})在(\vec{b})方向上的投影数量为（ ） A. ( -\frac{\sqrt{10}}{10} ) B. ( \frac{1}{\sqrt{10}} ) C. ( -\frac{1}{10} ) D. ( \frac{\sqrt{10}}{10} )
椭圆(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1)的离心率e等于（ ） A. ( \frac{\sqrt{7}}{4} ) B. ( \frac{5}{4} ) C. ( \frac{3}{4} ) D. ( \frac{\sqrt{7}}{3} )
函数(f(x) = \ln x)在x=1处的切线方程是（ ） A. y = x - 1 B. y = x + 1 C. y = 1 D. y = x
已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望E(X)与方差D(X)的公式分别是（ ） A. np, np(1-p) B. np, (\sqrt{np(1-p)}) C. n(1-p), np(1-p) D. p, p(1-p)
利用诱导公式,(\sin(180^\circ + \alpha))可化简为（ ） A. (\sin\alpha) B. (-\sin\alpha) C. (\cos\alpha) D. (-\cos\alpha)
填空题（每空2分，共30分）11. 一元二次方程(ax^2+bx+c=0 (a≠0))的求根公式为x =____。 12. 三角恒等变换中，两角和的正弦公式：(\sin(\alpha+\beta) = )____。 13. 已知圆的方程为((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)，则其圆心坐标为____，半径为____。 14. 排列数公式(An^m = )____（用阶乘表示）。 15. 基本不等式（均值定理）：对于a>0, b>0，有____≥ √(ab)，当且仅当____时取等号。 16. 球的表面积公式(S{球} = )____，体积公式(V_{球} = )____。 17. 等差数列的通项公式(a_n = )____；等比数列的通项公式(a_n = )____。 18. 导数的基本公式：若(f(x)=x^n) (n为有理数)，则(f'(x)=)____；若(f(x)=\sin x)，则(f'(x)=)____。 19. 点到直线的距离公式：点P(x₀, y₀)到直线Ax+By+C=0的距离d =____。 20. 异面直线所成角的范围是____。
解答题（共40分）21.(公式默写与理解，8分)请完整写出以下公式： (1) 平面向量数量积的坐标表示：设(\vec{a}=(x_1,y_1)), (\vec{b}=(x_2,y_2))，则(\vec{a} \cdot \vec{b}=)____。 (2) 余弦定理（任意三角形ABC）：(a^2 =)____。 (3) 平面内两点(A(x_1,y_1)), (B(x_2,y_2))间的距离公式|AB| =____。 (4) 对数运算性质（积的对数）：(\log_a(MN) = )____(a>0且a≠1, M>0, N>0)。
(公式应用，10分)已知数列{(a_n)}是首项为2，公比为3的等比数列。 (1) 写出其前n项和公式(S_n)。 (2) 利用(1)中的公式，计算该数列前5项的和(S_5)。
(综合应用，12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2。 (1) 求证：BD⊥PC。 (2) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。（提示：需用到空间向量夹角公式或几何法中的体积法、距离公式）
(实际建模，10分)某汽车刹车后作匀减速直线运动，已知刹车时的初速度(v_0 = 20 m/s)，加速度(a = -5 m/s^2)。 (1) 写出刹车后汽车行驶路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系式（物理学公式）。 (2) 求汽车从刹车到完全停止所需的时间及滑行的距离。
2025年高中数学公式大全掌握水平测试卷（参考答案）
选择题
A 2. B 3. B 4. A 5. A 6. B 7. A 8. A 9. A 10. B
填空题11. ( \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) 12. ( \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta ) 13. (a, b)， r 14. ( \frac{n!}{(n-m)!} ) 15. ( \frac{a+b}{2} )， a=b 16. ( 4\pi R^2 )， ( \frac{4}{3}\pi R^3 ) 17. ( a_1 + (n-1)d )， ( a_1 \cdot q^{n-1} ) 18. ( nx^{n-1} )， ( \cos x ) 19. ( \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} ) 20. ( (0^\circ, 90^\circ] )
解答题21. (1) ( x_1x_2 + y_1y_2 ) (2) ( b^2 + c^2 - 2bc\cos A ) (3) ( \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} ) (4) ( \log_a M + \log_a N )
(1) ( S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{2(1-3^n)}{1-3} = 3^n - 1 ) (2) ( S_5 = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242 )
(1) 证明：连接AC。∵PA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PA⊥BD，又ABCD为正方形，∴AC⊥BD。∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC。∵PC⊂面PAC，∴BD⊥PC。 (2) 解：以A为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面PBD的法向量，利用向量夹角公式( \sin\theta = |\cos<\vec{PC}, \vec{n}>| )（或几何法求出点C到平面PBD的距离h，结合PC长度求解），得( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} )。
(1) ( s(t) = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 20t - 2.5t^2 ) (2) 停止时v=0，由( v(t)=v_0+at=20-5t=0 )，得( t=4s )。 滑行距离( s(4) = 20\times4 - 2.5\times4^2 = 80 - 40 = 40 (m) )。