本试卷目录导读：
- 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
- 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
- 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
- 四、解答题（共6小题，共70分）
- 一、选择题
- 二、多选题
- 三、填空题
- 四、解答题
- 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前，请将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置。
- 所有答案需写在答题卡上，写在试卷上无效。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x + 3 \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( (-2, 1] )
B. ( [3, +\infty) )
C. ( (1, 3] )
D. ( (-2, 1] \cup [3, +\infty) )命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 )”的否定是（ ）
A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )
B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )
C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 )
D. ( \forall x \notin \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 )已知函数 ( f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2} )，则其定义域为（ ）
A. ( [-1, 2) \cup (2, +\infty) )
B. ( (-1, 2) \cup (2, +\infty) )
C. ( [-1, +\infty) )
D. ( (-1, +\infty) )若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
B. ( a^2 < b^2 )
C. ( \sqrt{a} < \sqrt{b} )
D. ( a^3 > b^3 )已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在区间 ( (-\infty, 4] ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ）
A. ( [4, +\infty) )
B. ( (-\infty, 4] )
C. ( [2, +\infty) )
D. ( (-\infty, 2] )若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ）
A. ( 2 )
B. ( \frac{9}{4} )
C. ( 3 )
D. ( 4 )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ ax + 2, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则 ( a ) 的取值范围是（ ）
A. ( [2, +\infty) )
B. ( (2, +\infty) )
C. ( (-\infty, 2] )
D. ( (-\infty, 2) )设奇函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( \frac{f(x)}{x} > 0 ) 的解集为（ ）
A. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) )
B. ( (-2, 0) \cup (0, 2) )
C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )
D. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) )
多选题（共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ）
A. ( y = |x| + 1 )
B. ( y = x^2 + 2x )
C. ( y = 2^{|x|} )
D. ( y = \sqrt{x^2} )已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c \geq 0 ) 的解集为 ( { x \mid -2 \leq x \leq 3 } )，则（ ）
A. ( a < 0 )
B. ( a + b + c > 0 )
C. ( b = -a )
D. ( c = -6a )下列命题正确的是（ ）
A. 若 ( a > b )，则 ( a^2 > b^2 )
B. 若 ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0 )，则 ( a^2 > b^2 )
C. 若 ( a > b > 0 )，( c > d > 0 )，则 ( \frac{a}{d} > \frac{b}{c} )
D. 若 ( a > b > 0 )，( m > 0 )，则 ( \frac{b}{a} < \frac{b+m}{a+m} )已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且满足 ( f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy )，( f(1) = 1 )，则（ ）
A. ( f(0) = 0 )
B. ( f(x) ) 为奇函数
C. ( f(2) = 6 )
D. ( f(x) = x^2 )
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
已知集合 ( A = {1, a, b} )，( B = {a, a^2, ab} )，且 ( A = B )，则 ( a^{2025} + b^{2025} = __________ )。
函数 ( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} ) 的单调递减区间是 __________。
若正数 ( x, y ) 满足 ( xy = x + y + 3 )，则 ( x + y ) 的最小值为 __________。
定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且当 ( x \in [0, 2) ) 时，( f(x) = 2x - x^2 )，则 ( f(2025) = __________ )。
解答题（共6小题，共70分）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 2 \leq x \leq 5 } )，( B = { x \mid a \leq x \leq a+3 } )。
（1）若 ( a = 2 )，求 ( A \cup B )，( A \cap (\complement_U B) )；
（2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( a ) 的取值范围。（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} )。
（1）判断 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值和最小值。（12分）已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 - (a+1)x + 1 < 0 )。
（1）当 ( a = 2 ) 时，解此不等式；
（2）当 ( a \in \mathbb{R} ) 时，解此不等式。（12分）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，每生产 ( x ) 千件，需另投入成本 ( C(x) ) 万元，已知 ( C(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 20x, & 0 < x \leq 20 \ 40x + \frac{400}{x} - 200, & x > 20 \end{cases} )，每件商品售价为0.5万元。
（1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（12分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 2a )。
（1）若 ( f(x) ) 在区间 ( [-1, 1] ) 上单调，求实数 ( a ) 的取值范围；
（2）若 ( x \in [-1, 1] ) 时，( f(x) \geq 0 ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )。
（1）判断 ( f(x) ) 的奇偶性并证明；
（2）求证：( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；
（3）解不等式 ( f(2x) + f(x^2 - 3) > 0 )。
参考答案见下页
2025年高中数学必修一（新教材）学业水平测试卷 参考答案
选择题
- C
- B
- A
- D
- A
- B
- A
- D
多选题
- AC
- BCD
- BCD
- AC
填空题
- (-1)
- ( (-\infty, 1] )
- ( 6 )
- ( -1 )
解答题
（1）( A \cup B = [2, 8] )，( A \cap (\complement_U B) = (5, 5] )（或空集）
（2）( a \in [2, 2] )（1）单调递减，证明略
（2）最大值为 ( f(1) = \frac{1}{2} )，最小值为 ( f(3) = \frac{3}{10} )（1）( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) )
（2）当 ( a = 0 ) 时，解集为 ( (1, +\infty) )；
当 ( a > 1 ) 时，解集为 ( \left( \frac{1}{a}, 1 \right) )；
当 ( a = 1 ) 时，解集为 ( \varnothing )；
当 ( 0 < a < 1 ) 时，解集为 ( \left( 1, \frac{1}{a} \right) )；
当 ( a < 0 ) 时，解集为 ( \left( -\infty, \frac{1}{a} \right) \cup (1, +\infty) )。（1）( L(x) = \begin{cases} -0.5x^2 + 30x - 200, & 0 < x \leq 20 \ 10x - \frac{400}{x} - 200, & x > 20 \end{cases} )
（2）当年产量为25千件时，最大利润为50万元。（1）( a \leq -1 ) 或 ( a \geq 1 )
（2）( a \leq -\frac{1}{2} )（1）奇函数，证明略
（2）证明略
（3）解集为 ( (-3, 1) )
试卷结束