（考试时间：90分钟 满分：100分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x < 3 } )，( B = { x | 0 \leq x < 5 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | -2 < x < 5 } ) B. ( { x | 0 \leq x < 3 } ) C. ( { x | -2 < x \leq 0 } ) D. ( { x | 3 \leq x < 5 } )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, +\infty) ) B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) D. ( (3, +\infty) )
已知复数 ( z = \frac{2i}{1-i} )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数 ( \overline{z} = )（ ） A. ( 1 - i ) B. ( 1 + i ) C. ( -1 - i ) D. ( -1 + i )
在等差数列 ( { a_n } ) 中，已知 ( a_3 = 5 )，( a_7 = 13 )，则公差 ( d = )（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, 1) )，则 ( 2\vec{a} - \vec{b} = )（ ） A. ( (5, 3) ) B. ( (-1, 5) ) C. ( (5, -3) ) D. ( (-1, 3) )
已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(4, -3) )，则 ( \sin \alpha = )（ ） A. ( \frac{4}{5} ) B. ( -\frac{4}{5} ) C. ( \frac{3}{5} ) D. ( -\frac{3}{5} )
下列函数中,在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递减的是（ ） A. ( y = x^2 ) B. ( y = \sqrt{x} ) C. ( y = 2^{-x} ) D. ( y = \log_2 x )
不等式 ( x^2 - 4x + 3 < 0 ) 的解集是（ ） A. ( (1, 3) ) B. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) ) C. ( (-\infty, 1) ) D. ( (3, +\infty) )
某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） （注：此处应有简单三视图图样，描述为：主视图和左视图为矩形，俯视图为圆） A. ( 12\pi \, \text{cm}^3 ) B. ( 24\pi \, \text{cm}^3 ) C. ( 36\pi \, \text{cm}^3 ) D. ( 48\pi \, \text{cm}^3 )
从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中任取两个不同的数，则取出的两个数之和为偶数的概率是（ ） A. ( \frac{1}{5} ) B. ( \frac{2}{5} ) C. ( \frac{3}{5} ) D. ( \frac{4}{5} )
执行如图所示的程序框图,若输入 ( x = 4 )，则输出的 ( y = )（ ） （注：此处应有简单程序框图，描述为：开始 → 输入x → y=x²-2x → 判断y<10？是→输出y，否→y=y-2→返回判断） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
已知直线 ( l_1: y = 2x + 1 ) 与直线 ( l_2: y = kx - 3 ) 平行，则实数 ( k = )（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）
计算：( \lg 5 + \lg 2 = )__。
已知 ( \sin \theta = \frac{1}{3} )，且 ( \theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \cos \theta = )__。
已知 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x} ) 的最小值为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2^x, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )__。
解答题（本大题共4小题，第17、18题每题10分，第19、20题每题14分，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（本小题满分10分） 在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，已知 ( a = 2\sqrt{3} )，( b = 2 )，( B = 30^\circ )。 （Ⅰ）求 ( \sin A ) 的值； （Ⅱ）求边 ( c ) 的长度。
（本小题满分10分） 如图，在正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，( E, F ) 分别是棱 ( BB_1 )、( DD_1 ) 的中点。 （Ⅰ）求证：( EF // ) 平面 ( ABCD )； （Ⅱ）若正方体棱长为2，求三棱锥 ( C_1-BEF ) 的体积。
（本小题满分14分） 已知数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且满足 ( S_n = 2a_n - 1 ) (( n \in \mathbb{N}^* ))。 （Ⅰ）求数列 ( { a_n } ) 的通项公式； （Ⅱ）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ( { b_n } ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（本小题满分14分） 已知圆 ( C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 ) 和直线 ( l: y = kx + 1 )。 （Ⅰ）若直线 ( l ) 与圆 ( C ) 相切，求实数 ( k ) 的值； （Ⅱ）若直线 ( l ) 与圆 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = 2\sqrt{2} )，求直线 ( l ) 的方程。
2025年高中数学学业水平考试模拟试卷参考答案及评分标准
选择题
- B 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D
- C 8. A 9. B 10. B 11. C 12. D
填空题13. 1 14. ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} ) 15. 4 16. 5
解答题17. 解：（Ⅰ）由正弦定理 ( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} ) 得： ( \frac{2\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = 4 )， 解得 ( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} )。 …………………………（5分） （Ⅱ）由 ( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} )，且 ( a > b )，得 ( A = 60^\circ ) 或 ( A = 120^\circ )。 当 ( A = 60^\circ ) 时，( C = 90^\circ )，由勾股定理得 ( c = \sqrt{a^2 - b^2} = 2\sqrt{2} )。 当 ( A = 120^\circ ) 时，( C = 30^\circ )，( c = b = 2 )。 综上，( c = 2\sqrt{2} ) 或 ( c = 2 )。 …………………………（10分）
（Ⅰ）证明：连接 ( BD )，在正方体中，( E, F ) 分别是 ( BB_1 )、( DD_1 ) 中点， ∴ ( EF // BD )。 又 ( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，( EF \not\subset ) 平面 ( ABCD )， ∴ ( EF // ) 平面 ( ABCD )。 …………………………（5分） （Ⅱ）解：∵ ( EF // BD )，且 ( BD = 2\sqrt{2} )，( EF = \sqrt{2} )， 点 ( C_1 ) 到平面 ( BEF ) 的距离等于点 ( C1 ) 到平面 ( ABCD ) 的距离，即为棱长2。 ( V{C1-BEF} = V{F-C1BE} = \frac{1}{3} \times S{\triangle C_1BE} \times D_1F = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 1) \times 1 = \frac{1}{3} )。 …………………………（10分）
解：（Ⅰ）当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 2a_1 - 1 )，解得 ( a_1 = 1 )。 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 1) - (2a{n-1} - 1) = 2an - 2a{n-1} )， 整理得 ( an = 2a{n-1} )。 ∴ 数列 ( { a_n } ) 是以1为首项，2为公比的等比数列。 ∴ ( a_n = 2^{n-1} )。 …………………………（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( b_n = \log_2 2^{n-1} = n-1 )。 ∴ 数列 ( { b_n } ) 是以0为首项，1为公差的等差数列。 ∴ ( T_n = \frac{n[0+(n-1)]}{2} = \frac{n(n-1)}{2} )。 …………………………（14分）
解：（Ⅰ）圆 ( C ) 的圆心为 ( C(1, 2) )，半径 ( r = 2 )。 直线 ( l: kx - y + 1 = 0 )。 由题意，圆心 ( C ) 到直线 ( l ) 的距离 ( d = \frac{|k-2+1|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}} = r = 2 )。 平方整理得：( 3k^2 + 2k + 3 = 0 )，此方程无实数解。 ∴ 不存在实数 ( k ) 使得直线与圆相切。 …………………………（6分） （Ⅱ）设圆心 ( C ) 到直线 ( l ) 的距离为 ( d )。 由弦长公式 ( |AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2} )，得 ( \sqrt{4 - d^2} = \sqrt{2} )，解得 ( d = \sqrt{2} )。 即 ( \frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{2} )。 平方整理得：( k^2 + 2k + 1 = 0 )，解得 ( k = -1 )。 ∴ 直线 ( l ) 的方程为 ( y = -x + 1 )。 …………………………（14分）