（满分：150分，时间：120分钟）
选择题（每题5分，共60分）
已知直线 (l) 的倾斜角为 (45^\circ)，且过点 ((-2, 3))，则直线 (l) 的方程是（ ）
A. (y = x + 5)
B. (y = x - 5)
C. (y = -x + 5)
D. (y = -x - 5)圆 (x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0) 的圆心坐标和半径分别是（ ）
A. ((2, -3), 5)
B. ((-2, 3), 5)
C. ((2, -3), \sqrt{5})
D. ((-2, 3), \sqrt{5})已知空间两点 (A(1, 2, 3)) 和 (B(4, 6, 9))，则线段 (AB) 的中点坐标是（ ）
A. ((2.5, 4, 6))
B. ((2, 4, 6))
C. ((2.5, 4, 5))
D. ((2, 4, 5))若直线 (l_1: y = 2x + 1) 与直线 (l_2: y = kx - 3) 平行，则 (k) 的值为（ ）
A. (2)
B. (-2)
C. (\frac{1}{2})
D. (-\frac{1}{2})已知圆 (C: (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9)，则圆 (C) (x) 轴对称的圆的方程是（ ）
A. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 9)
B. ((x+1)^2 + (y+2)^2 = 9)
C. ((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9)
D. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 3)在空间直角坐标系中，点 (P(3, -2, 1)) 到平面 (xOy) 的距离是（ ）
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (\sqrt{14})若直线 (l) 与圆 (x^2 + y^2 = 4) 相切于点 ((1, \sqrt{3}))，则直线 (l) 的方程是（ ）
A. (x + \sqrt{3}y = 4)
B. (x - \sqrt{3}y = 4)
C. (\sqrt{3}x + y = 4)
D. (\sqrt{3}x - y = 4)已知直线 (l_1: x + 2y - 5 = 0) 与 (l_2: 2x + 4y + 3 = 0)，则这两条直线的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 重合
D. 垂直圆 (x^2 + y^2 = 1) 与直线 (y = kx + 2) 有两个不同的交点，则实数 (k) 的取值范围是（ ）
A. ((-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty))
B. ((-\sqrt{3}, \sqrt{3}))
C. ((-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty))
D. ([-\sqrt{3}, \sqrt{3}])已知空间向量 (\vec{a} = (1, 2, 3))，(\vec{b} = (x, 4, 6))，若 (\vec{a} \parallel \vec{b})，则 (x) 的值为（ ）
A. (2)
B. (3)
C. (4)
D. (6)若圆 (C_1: x^2 + y^2 = 4) 与圆 (C_2: (x-3)^2 + y^2 = r^2) 内切，则 (r) 的值为（ ）
A. (1)
B. (5)
C. (1) 或 (5)
D. (1) 或 (7)已知点 (A(1, 2))，(B(4, 6))，点 (P) 在 (x) 轴上，且 (|PA| = |PB|)，则点 (P) 的坐标是（ ）
A. ((3, 0))
B. ((5, 0))
C. ((0, 3))
D. ((0, 5))
填空题（每题5分，共20分）
直线 (3x - 4y + 12 = 0) 在 (y) 轴上的截距是__。
圆 (x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0) 的圆心到直线 (3x - 4y + 5 = 0) 的距离是__。
已知空间两点 (M(1, -1, 2))，(N(3, 1, 4))，则 (|MN| =)__。
若直线 (l: y = kx + 1) 被圆 (x^2 + y^2 = 4) 截得的弦长为 (2\sqrt{3})，则 (k =)__。
解答题（共70分）
（10分）已知直线 (l) 经过点 (A(2, -1))，且与直线 (2x + y - 5 = 0) 垂直，求直线 (l) 的方程。
（12分）已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且经过点 (A(3, 1)) 和 (B(5, 3))，求圆 (C) 的标准方程。
（12分）在空间直角坐标系中，已知点 (A(1, 0, 2))，(B(3, 2, 1))，(C(2, 1, 3))。
（1）求向量 (\overrightarrow{AB}) 和 (\overrightarrow{AC}) 的坐标；
（2）求 (\triangle ABC) 的面积。（12分）已知圆 (M: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0)，直线 (l: x + y - 5 = 0)。
（1）判断直线 (l) 与圆 (M) 的位置关系；
（2）若直线 (l) 与圆 (M) 相交,求弦长。（12分）已知圆 (C_1: x^2 + y^2 = 1)，圆 (C_2: (x-2)^2 + y^2 = 4)。
（1）求两圆的位置关系；
（2）求两圆的公共弦所在直线的方程。（12分）在平面直角坐标系中，已知点 (P(x, y)) 满足 (x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 \leq 0)。
（1）求点 (P) 的轨迹所表示的图形；
（2）求 (x + y) 的最大值和最小值。
高中数学必修二综合测试卷（2025）参考答案
选择题
- A
- A
- A
- A
- A
- A
- A
- B
- B
- A
- A
- B
填空题
- (3)
- (2)
- (2\sqrt{3})
- (\pm \sqrt{2})
解答题
解：直线 (2x + y - 5 = 0) 的斜率为 (-2)，与之垂直的直线斜率为 (\frac{1}{2})。
设直线 (l) 的方程为 (y + 1 = \frac{1}{2}(x - 2))，
整理得 (x - 2y - 4 = 0)。解：设圆心为 (C(a, 2a))，由 (|CA| = |CB|) 得：
((a-3)^2 + (2a-1)^2 = (a-5)^2 + (2a-3)^2)，
解得 (a = 2)，圆心 (C(2, 4))，半径 (r = |CA| = \sqrt{(2-3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{10})。
圆的标准方程为 ((x-2)^2 + (y-4)^2 = 10)。解：（1）(\overrightarrow{AB} = (2, 2, -1))，(\overrightarrow{AC} = (1, 1, 1))。
（2）(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & 2 & -1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (3, -3, 0))，
面积 (S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{9+9+0} = \frac{3\sqrt{2}}{2})。解：（1）圆 (M) 化为标准方程：((x-2)^2 + (y-3)^2 = 4)，圆心 (M(2, 3))，半径 (r=2)。
圆心到直线 (l) 的距离 (d = \frac{|2+3-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 0 < r)，
所以直线与圆相交。
（2）弦长 (= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 0} = 4)。解：（1）圆 (C_1) 圆心 (O(0,0))，半径 (r_1=1)；圆 (C_2) 圆心 (C(2,0))，半径 (r_2=2)。
圆心距 (|OC| = 2)，且 (r_2 - r_1 = 1)，(r_1 + r_2 = 3)，
因为 (1 < 2 < 3)，所以两圆相交。
（2）两圆方程相减得公共弦方程：
(x^2 + y^2 - 1 - [(x-2)^2 + y^2 - 4] = 0)，
化简得 (x = \frac{1}{2})。解：（1）不等式化为 ((x-2)^2 + (y-3)^2 \leq 1)，
表示以 (C(2,3)) 为圆心、1为半径的圆及其内部区域。
（2）设 (x + y = t)，即直线 (y = -x + t) 与圆有公共点。
圆心到直线的距离 (d = \frac{|2+3-t|}{\sqrt{2}} \leq 1)，
解得 (5 - \sqrt{2} \leq t \leq 5 + \sqrt{2})。
(x+y) 的最大值为 (5 + \sqrt{2})，最小值为 (5 - \sqrt{2})。
试卷说明：本试卷依据高中数学必修二教材（2025年适用版本）主要知识点编制，涵盖直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系等内容，难度适中,注重基础与综合运用。