（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 4} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1, 3} ) \quad D. ( {1, 5} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( [2, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad C. ( a|c| > b|c| ) \quad D. ( a + c > b + c )
下列函数中,与函数 ( y = x ) 是同一个函数的是（ ） A. ( y = (\sqrt{x})^2 ) \quad B. ( y = \sqrt[3]{x^3} ) \quad C. ( y = \frac{x^2}{x} ) \quad D. ( y = \sqrt{x^2} )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( x > 1 )，则 ( x + \frac{4}{x-1} ) 的最小值为（ ） A. 3 \quad B. 4 \quad C. 5 \quad D. 6
若奇函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的最小值为 3，则 ( f(x) ) 在区间 ( [-5, -2] ) 上（ ） A. 有最小值 -3 \quad B. 有最大值 -3 \quad C. 有最小值 3 \quad D. 有最大值 3
不等式 ( \frac{x-1}{x+2} \leq 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 1] ) \quad B. ( [-2, 1] ) \quad C. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) ) \quad D. ( (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 5 )，且 ( f(3) = 7 )，则 ( f(-3) = )（ ） A. -7 \quad B. 3 \quad C. 5 \quad D. 7
函数 ( f(x) = |x|(1 - x) ) 的单调递增区间是（ ） A. ( (-\infty, 0] ) \quad B. ( \left[0, \frac{1}{2}\right] ) \quad C. ( \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) ) \quad D. ( (-\infty, \frac{1}{2}] )
设函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，且在 ( [0, +\infty) ) 上单调递减，若 ( f(2a-1) > f(3) )，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-1, 2) ) \quad C. ( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) ) \quad D. ( (-1, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知集合 ( A = {x | -2 < x < 3} )，( B = {x | x \geq 1} )，则 ( A \cup B = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - m - 1) x^{m^2 - 2m - 3} ) 的图象关于原点对称，则 ( m = )__。
已知 ( f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} )，则函数 ( f(x) ) 的解析式为__。
为了保护环境,某工厂计划建造一个长方体无盖净水池，容积为 ( 4800 \, m^3 )，深度为 ( 3 \, m )，已知池底每平方米的造价为 ( 150 ) 元，池壁每平方米的造价为 ( 120 ) 元，设池底一边长为 ( x \, m )，则总造价 ( y )（元）( x ) 的函数解析式为__；为使总造价最低，池底的另一边长度应为__( m )。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x | 3 \leq x < 7} )，( B = {x | 2 < x \leq 10} )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_U (A \cap B) )； （2）若集合 ( C = {x | x > a} )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分） （1）已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( \frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1 )，求 ( x + y ) 的最小值。 （2）解不等式：( x^2 - 3|x| + 2 \leq 0 )。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值和最小值。
（12分）已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )。 （1）求函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的解析式； （2）在给出的直角坐标系中，画出函数 ( f(x) ) 的图象，并根据图象写出 ( f(x) ) 的单调递减区间； （3）若方程 ( f(x) = m ) 有三个不相等的实数根，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）某市出租车收费标准如下：起步价为 ( 10 ) 元（起步里程为 ( 3 \, km )），超过 ( 3 \, km ) 但不超过 ( 15 \, km ) 的部分，每公里收费 ( 2 ) 元；超过 ( 15 \, km ) 的部分，每公里收费 ( 3 ) 元。 （1）建立车费 ( y )（元）与行驶里程 ( x \, (km) ) 之间的函数关系式； （2）如果某人乘坐出租车行驶了 ( 20 \, km )，应付多少车费？ （3）如果某人付了 ( 34 ) 元车费，那么他乘坐出租车行驶的最大里程是多少？
（12分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c \, (a \neq 0) ) 满足 ( f(0) = 1 )，且不等式 ( f(x) \leq 2x + 3 ) 的解集为 ( {x | -1 \leq x \leq 3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - mx ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设 ( h(x) = \sqrt{f(x)} )，求函数 ( h(x) ) 的定义域和值域。
2025年高一数学必修一（人教版）综合测试卷 参考答案
选择题
- A \quad 2. B \quad 3. A \quad 4. D \quad 5. B \quad 6. C
- C \quad 8. B \quad 9. A \quad 10. B \quad 11. B \quad 12. C
填空题13. ( {x | x > -2} ) 或 ( (-2, +\infty) ) 14. ( 2 ) 15. ( f(x) = x^2 - 1 \, (x \geq 1) ) 16. ( y = 150 \times \frac{1600}{x} + 240(x + \frac{1600}{x}) \, (x > 0) )； ( 40 )
解答题17. （1）( A \cup B = {x | 2 < x \leq 10} )； ( \complement_U (A \cap B) = {x | x < 3 \, 或 \, x \geq 7} )。 （2）( a \geq 10 )。
（1）( x + y = (x + y)(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}) = 10 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x} \geq 10 + 2\sqrt{9} = 16 )，当且仅当 ( \frac{9x}{y} = \frac{y}{x} ) 即 ( y=3x ) 且 ( \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1 ) 解得 ( x=4, y=12 ) 时取等，最小值为 ( 16 )。 （2）解集为 ( [-2, -1] \cup [1, 2] )。
（1）在 ( [1, +\infty) ) 上单调递减，证明：任取 ( 1 \leq x_1 < x_2 )，( f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2+1} - \frac{x_2}{x_2^2+1} = \frac{(x_1-x_2)(1-x_1x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} > 0 )，故 ( f(x_1) > f(x_2) )。 （2）由（1）知，最大值为 ( f(1) = \frac{1}{2} )，最小值为 ( f(3) = \frac{3}{10} )。
（1）( f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases} ) （2）图略，单调递减区间：( (-\infty, -1], [1, +\infty) )。 （3）( m \in (-1, 1) )。
（1）( y = \begin{cases} 10, & 0 < x \leq 3 \ 10 + 2(x-3), & 3 < x \leq 15 \ 34 + 3(x-15), & x > 15 \end{cases} ) 即 ( y = \begin{cases} 10, & 0 < x \leq 3 \ 2x+4, & 3 < x \leq 15 \ 3x-11, & x > 15 \end{cases} ) （2）( y = 3 \times 20 - 11 = 49 ) 元。 （3）令 ( 2x+4=34 )，得 ( x=15 )；令 ( 3x-11=34 )，得 ( x=15 )，故最大里程为 ( 15 \, km )。
（1）由 ( f(0)=1 ) 得 ( c=1 )，由解集知 ( -1, 3 ) 是方程 ( ax^2+(b-2)x-2=0 ) 的两根，得 ( a=-1, b=4 )，故 ( f(x) = -x^2 + 4x + 1 )。 （2）( g(x) = -x^2 + (4-m)x + 1 )，对称轴为 ( x = \frac{4-m}{2} )，由题意 ( \frac{4-m}{2} \leq 1 ) 或 ( \frac{4-m}{2} \geq 3 )，解得 ( m \geq 2 ) 或 ( m \leq -2 )。 （3）由 ( f(x) = -(x-2)^2 + 5 \geq 0 ) 得定义域为 ( [2-\sqrt{5}, 2+\sqrt{5}] )，值域为 ( [0, \sqrt{5}] )。