（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
在空间直角坐标系中，点 ( P(1, -2, 3) ) ( xOy ) 平面的对称点坐标是（ ） A. ( (1, -2, -3) ) B. ( (-1, -2, 3) ) C. ( (1, 2, 3) ) D. ( (-1, 2, -3) )
已知直线 ( l_1: 2x - y + 1 = 0 ) 与直线 ( l_2: x + ky - 3 = 0 ) 垂直，则实数 ( k ) 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ( \frac{1}{2} ) D. ( -\frac{1}{2} )
圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 ) 的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ( (2, -3), 4 ) B. ( (-2, 3), 4 ) C. ( (2, -3), \sqrt{10} ) D. ( (2, -3), 4\sqrt{2} )
椭圆 ( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 的焦距为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
双曲线 ( \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1 ) 的渐近线方程为（ ） A. ( y = \pm \frac{4}{3}x ) B. ( y = \pm \frac{3}{4}x ) C. ( y = \pm \frac{9}{16}x ) D. ( y = \pm \frac{16}{9}x )
抛物线 ( y^2 = 8x ) 的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
已知 ( \overrightarrow{a} = (1, 0, 1), \overrightarrow{b} = (2, -1, 0) )，则 ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} ) 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
若方程 ( \frac{x^2}{m-2} + \frac{y^2}{5-m} = 1 ) 表示焦点在 ( x ) 轴上的椭圆，则实数 ( m ) 的取值范围是（ ） A. ( (2, 5) ) B. ( (2, \frac{7}{2}) ) C. ( (\frac{7}{2}, 5) ) D. ( (-\infty, 2) \cup (5, +\infty) )
已知直线 ( l ) 过点 ( (1, 2) )，且与直线 ( 2x - 3y + 4 = 0 ) 平行，则直线 ( l ) 的方程为（ ） A. ( 2x - 3y + 4 = 0 ) B. ( 2x - 3y - 4 = 0 ) C. ( 3x + 2y - 7 = 0 ) D. ( 2x - 3y + 8 = 0 )
在棱长为 2 的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，异面直线 ( A_1B ) 与 ( B_1C ) 所成角的大小为（ ） A. ( 30^\circ ) B. ( 45^\circ ) C. ( 60^\circ ) D. ( 90^\circ )
已知圆 ( C_1: x^2 + y^2 = 4 ) 与圆 ( C_2: x^2 + y^2 - 4x + 4y - 8 = 0 )，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
已知双曲线 ( C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的离心率为 ( \frac{5}{3} )，且其虚轴长为 8，则双曲线 ( C ) 的标准方程为（ ） A. ( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 ) B. ( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 ) C. ( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1 ) D. ( \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1 )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知空间向量 ( \overrightarrow{a} = (2, -1, 3) )，则 ( |\overrightarrow{a}| = )__。
过点 ( (3, -1) ) 且与圆 ( (x-1)^2 + y^2 = 5 ) 相切的直线方程为__。
已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，点 ( P ) 在 ( C ) 上，且 ( |PF| = 5 )，则点 ( P ) 的横坐标为__。
在平面直角坐标系中，已知 ( A(-2, 0), B(2, 0) )，若动点 ( P ) 满足 ( |PA| + |PB| = 6 )，则动点 ( P ) 的轨迹方程为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知直线 ( l_1: x + 2y - 4 = 0 ) 与直线 ( l_2: 2x - y + 3 = 0 ) 相交于点 ( P )。 （1）求点 ( P ) 的坐标； （2）求过点 ( P ) 且与直线 ( 3x + 4y - 5 = 0 ) 垂直的直线方程。
（12分）已知圆 ( C ) 的圆心在直线 ( y = 2x ) 上，且经过点 ( A(3, 2) ) 和点 ( B(1, 4) )。 （1）求圆 ( C ) 的标准方程； （2）判断点 ( M(2, 3) ) 与圆 ( C ) 的位置关系。
（12分）如图，在长方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，( AB = 4, AD = 3, AA_1 = 2 )。 （1）求异面直线 ( A_1D ) 与 ( B_1C ) 所成角的余弦值； （2）求点 ( B ) 到平面 ( A_1B_1C_1D_1 ) 的距离。 （请根据题意建立空间直角坐标系并解答）
（12分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (2, 0) )。 （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （2）若直线 ( l: y = x + m ) 与椭圆 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，且线段 ( AB ) 的中点为 ( M(1, n) )，求 ( m ) 和 ( n ) 的值。
（12分）已知双曲线 ( C: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 )。 （1）求双曲线 ( C ) 的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）若直线 ( l: y = kx + 2 ) 与双曲线 ( C ) 的右支有两个不同的交点，求实数 ( k ) 的取值范围。
（12分）已知抛物线 ( E: y^2 = 2px (p > 0) ) 的焦点为 ( F )，点 ( P(4, m) ) 在抛物线 ( E ) 上，且 ( |PF| = 5 )。 （1）求抛物线 ( E ) 的方程； （2）设过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与抛物线 ( E ) 相交于 ( A, B ) 两点，若 ( \overrightarrow{FA} = 2\overrightarrow{FB} )，求直线 ( l ) 的方程。
2025年高二数学上册综合测试卷（带答案）
（满分：150分 时间：120分钟）
选择题
- A 2. A 3. A 4. C 5. A 6. B
- B 8. C 9. D 10. C 11. B 12. A
填空题
- ( \sqrt{14} )
- ( 2x + y - 5 = 0 ) 或 ( x - 2y - 5 = 0 ) （写出一个即可给分，通常有两条切线）
详细解答：圆心 ( (1, 0) )，半径 ( r = \sqrt{5} )，设切线方程为 ( y+1 = k(x-3) )，即 ( kx - y - 3k -1 =0 )，圆心到直线距离 ( d = \frac{|k - 0 - 3k -1|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|-2k-1|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{5} )，解得 ( k = 2 ) 或 ( k = -\frac{1}{2} )，故切线方程为 ( 2x - y - 7 = 0 ) 或 ( x + 2y - 1 = 0 )。（与所给答案等价） - 4
- ( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 )
解答题
解： (1) 联立方程： ( \begin{cases} x + 2y - 4 = 0 \ 2x - y + 3 = 0 \end{cases} ) 解得 ( x = -\frac{2}{5}, y = \frac{11}{5} )。 所以点 ( P ) 的坐标为 ( \left( -\frac{2}{5}, \frac{11}{5} \right) )。（5分） (2) 直线 ( 3x + 4y - 5 = 0 ) 的斜率为 ( -\frac{3}{4} )，故所求直线的斜率为 ( \frac{4}{3} )。 由点斜式得：( y - \frac{11}{5} = \frac{4}{3} \left( x + \frac{2}{5} \right) )， 整理得：( 20x - 15y + 37 = 0 )。（5分）
解： (1) 设圆心为 ( C(a, 2a) )。 由 ( |CA| = |CB| ) 得： ( \sqrt{(a-3)^2 + (2a-2)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + (2a-4)^2} )， 解得 ( a = 2 )，所以圆心 ( C(2, 4) )，半径 ( r = |CA| = \sqrt{(2-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{5} )。 故圆 ( C ) 的标准方程为 ( (x-2)^2 + (y-4)^2 = 5 )。（8分） (2) 点 ( M(2, 3) ) 到圆心 ( C(2, 4) ) 的距离为 ( |MC| = \sqrt{(2-2)^2 + (3-4)^2} = 1 < \sqrt{5} )。 所以点 ( M ) 在圆 ( C ) 内部。（4分）
解： 以 ( D ) 为原点，( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1} ) 的方向分别为 ( x, y, z ) 轴正方向建立空间直角坐标系。 则 ( A_1(3, 0, 2), D(0, 0, 0), B_1(3, 4, 2), C(0, 4, 0), B(3, 4, 0) )。 (1) ( \overrightarrow{A_1D} = (-3, 0, -2), \overrightarrow{B_1C} = (-3, 0, -2) )。 发现 ( \overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{B_1C} )，( A_1D // B_1C )，它们所成角为 ( 0^\circ )，余弦值为 1。（6分） （注：此题为特殊情形，两直线平行） (2) 平面 ( A_1B_1C_1D_1 ) 即为平面 ( z=2 )。 点 ( B(3, 4, 0) ) 到平面 ( z=2 ) 的距离为 ( |0-2| = 2 )。 所以点 ( B ) 到平面 ( A_1B_1C_1D_1 ) 的距离为 2。（6分）
解： (1) 由椭圆过点 ( (2, 0) )，得 ( a = 2 )。 离心率 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} )，( c = 1 )。 则 ( b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3 )。 故椭圆 ( C ) 的标准方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。（6分） (2) 将 ( y = x + m ) 代入椭圆方程得： ( \frac{x^2}{4} + \frac{(x+m)^2}{3} = 1 )，即 ( 7x^2 + 8mx + 4m^2 - 12 = 0 )。 设 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )，则 ( x_1 + x_2 = -\frac{8m}{7} )。 因为中点 ( M ) 的横坐标为 1，( \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{4m}{7} = 1 )，解得 ( m = -\frac{7}{4} )。 代入直线方程得 ( n = 1 + m = 1 - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4} )。 ( m = -\frac{7}{4}, n = -\frac{3}{4} )。（6分）
解： (1) 由方程知 ( a^2 = 4, b^2 = 5 )，( c^2 = a^2 + b^2 = 9 )。 焦点坐标为 ( (\pm 3, 0) )。 离心率 ( e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} )。 渐近线方程为 ( y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x )。（6分） (2) 将 ( y = kx + 2 ) 代入双曲线方程得： ( \frac{x^2}{4} - \frac{(kx+2)^2}{5} = 1 )， 整理得：( (5 - 4k^2)x^2 - 16kx - 36 = 0 )。 因为直线与右支有两个不同交点，所以方程有两个不等的正根。 需满足： ( \begin{cases} \Delta = (-16k)^2 + 144(5-4k^2) > 0 \ x_1 + x_2 = \frac{16k}{5-4k^2} > 0 \ x_1 x_2 = \frac{-36}{5-4k^2} > 0 \end{cases} ) 由 ( x_1 x_2 > 0 ) 得 ( 5 - 4k^2 < 0 )，即 ( k^2 > \frac{5}{4} )。 由 ( \Delta > 0 ) 化简得：( 256k^2 + 720 - 576k^2 > 0 )，即 ( -320k^2 + 720 > 0 )，解得 ( k^2 < \frac{9}{4} )。 由 ( x_1 + x_2 > 0 ) 及 ( 5-4k^2 < 0 ) 得 ( 16k < 0 )，( k < 0 )。 综上，实数 ( k ) 的取值范围是 ( -\