2025年高一数学综合模拟测试卷（天利38套风格）

（附答案与解析）

选择题（共12题，每题5分，共60分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 \le x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \le 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( [0, 3) )
   B. ( [-2, 4] )
   C. ( [0, 4] )
   D. ( (-2, 0] )

2. 若复数 ( z = \frac{1 + i}{1 - i} )，则 ( z ) 的虚部为（ ）
   A. ( 1 )
   B. ( 0 )
   C. ( -1 )
   D. ( i )

3. 函数 ( f(x) = \sqrt{2x - 1} + \ln(3 - x) ) 的定义域为（ ）
   A. ( [\frac{1}{2}, 3) )
   B. ( (\frac{1}{2}, 3] )
   C. ( [\frac{1}{2}, 3] )
   D. ( (\frac{1}{2}, 3) )

4. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, 4) )，则 ( \vec{a} \cdot \vec{b} = )（ ）
   A. ( 5 )
   B. ( -5 )
   C. ( 10 )
   D. ( -10 )

5. 在等差数列 ( {a_n} ) 中，( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ）
   A. ( 4 )
   B. ( 5 )
   C. ( 6 )
   D. ( 8 )

6. 若 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \tan \theta = )（ ）
   A. ( \frac{3}{4} )
   B. ( -\frac{3}{4} )
   C. ( \frac{4}{3} )
   D. ( -\frac{4}{3} )

7. 已知直线 ( l_1: y = 2x + 1 ) 与 ( l_2: y = kx - 3 ) 垂直，则 ( k = )（ ）
   A. ( 2 )
   B. ( -2 )
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

8. 不等式 ( \frac{x-1}{x+2} \le 0 ) 的解集为（ ）
   A. ( (-2, 1] )
   B. ( [-2, 1] )
   C. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) )
   D. ( (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) )

9. 若 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 5 )，( c = 2^{0.1} )，则（ ）
   A. ( a < b < c )
   B. ( b < a < c )
   C. ( c < a < b )
   D. ( b < c < a )

10. 函数 ( f(x) = x^2 - 4|x| + 3 ) 的单调递减区间为（ ）
    A. ( (-\infty, -2) )
    B. ( (-2, 0) )
    C. ( (0, 2) )
    D. ( (2, +\infty) )

11. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 )，则圆心到直线 ( 3x - 4y + 5 = 0 ) 的距离为（ ）
    A. ( 1 )
    B. ( 2 )
    C. ( 3 )
    D. ( 4 )

12. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} 2^x, & x \le 1 \ \log_2 x, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(2)) = )（ ）
    A. ( 0 )
    B. ( 1 )
    C. ( 2 )
    D. ( 4 )

填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 已知 ( \alpha ) 为第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{5}{13} )，则 ( \cos \alpha = )__．
14. 若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( xy ) 的最大值为__．
15. 已知函数 ( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 ) 在 ( x = 1 ) 处取得极值 4，则 ( a + b = )__．
16. 在 ( \triangle ABC ) 中，( AB = 3 )，( AC = 4 )，( BC = 5 )，则 ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = )__．

解答题（共6题，共70分）
17. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid x^2 - 5x + 6 \le 0 } )，( B = { x \mid 2^x \ge 4 } )．
（1）求 ( A \cup B )；
（2）求 ( \complement_U (A \cap B) )．

18. （12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )．
    （1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
    （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上的最大值和最小值．

19. （12分）已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2n^2 + n )．
    （1）求 ( a_n )；
    （2）若 ( b_n = \frac{1}{an a{n+1}} )，求数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )．

20. （12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，( BC = 4 )．
    （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
    （2）求点 ( C ) 到平面 ( PBD ) 的距离．

21. （12分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )．
    （1）求椭圆 ( C ) 的方程；
    （2）若直线 ( l: y = kx + m ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，且 ( OA \perp OB )，求证：直线 ( l ) 恒过定点．

22. （12分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )．
    （1）若 ( f(x) \ge 0 ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围；
    （2）若方程 ( f(x) = 0 ) 有两个不相等的实数根 ( x_1, x_2 )，求证：( x_1 + x_2 > 0 )．

参考答案与解析
选择题

1. A
2. B
3. A
4. A
5. B
6. B
7. D
8. A
9. B
10. C
11. C
12. B

填空题
13. ( -\frac{12}{13} )
14. ( 2 )
15. ( -3 )
16. ( 9 )

解答题
17. （1）( A = [2, 3] )，( B = [2, +\infty) )，( A \cup B = [2, +\infty) )；
（2）( A \cap B = [2, 3] )，( \complement_U (A \cap B) = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) )．
18. （1）( f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )，最小正周期 ( T = \pi )；
（2）最大值 ( 2 )，最小值 ( -\sqrt{3} )．
19. （1）( a_n = 4n - 1 )；
（2）( T_n = \frac{n}{4n+3} )．
20. （1）略（利用线面垂直判定）；
（2）距离为 ( \frac{4\sqrt{5}}{5} )．
21. （1）( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )；
（2）过定点 ( (0, -\frac{2\sqrt{3}}{3}) )．
22. （1）( a \le 1 )；
（2）略（利用函数对称性及单调性证明）．

注：本卷为模拟试题，命题风格参考“天利38套”模式，适用于2025年高一数学综合检测。