选择题（每题5分，共30分）
已知集合 ( A = { x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3 } )，则 ( A ) 中的元素个数为（ ） A. 4 \quad B. 5 \quad C. 6 \quad D. 7
设集合 ( U = {1,2,3,4,5} )，( A = {1,3,5} )，则 ( \complement_U A = )（ ） A. ({2,4}) \quad B. ({1,3,5}) \quad C. ({1,2,3,4,5}) \quad D. (\varnothing)
已知集合 ( M = {x \mid x^2 - 3x + 2 = 0} )，( N = {1, 2} )，则 ( M ) 与 ( N ) 的关系是（ ） A. ( M \subsetneq N ) \quad B. ( N \subsetneq M ) \quad C. ( M = N ) \quad D. ( M \cap N = \varnothing )
设集合 ( A = {x \mid -1 \leq x < 2} )，( B = {x \mid x \geq 0} )，则 ( A \cup B = )（ ） A. ({x \mid x \geq -1}) \quad B. ({x \mid x < 2}) \quad C. ({x \mid 0 \leq x < 2}) \quad D. ({x \mid -1 \leq x < 2})
已知集合 ( P = {1, a, b} )，( Q = {a, a^2, ab} )，且 ( P = Q )，则 ( a^{2025} + b^{2025} = )（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. -1 \quad D. 2
设全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x \mid x^2 - 4 \leq 0} )，( B = {x \mid x > 1} )，则 ( A \cap (\complement_U B) = )（ ） A. ({x \mid -2 \leq x \leq 2}) \quad B. ({x \mid 1 < x \leq 2}) \quad C. ({x \mid -2 \leq x \leq 1}) \quad D. ({x \mid x \leq 1})
填空题（每题5分，共20分）
用列举法表示集合：( {x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ 是小于6的偶数} } = )__。
满足条件 ( \varnothing \subsetneq M \subseteq {1, 2, 3} ) 的集合 ( M ) 的个数为__。
已知集合 ( A = {1, 2, m} )，( B = {2, 4} )，若 ( A \cup B = {1, 2, 3, 4} )，则实数 ( m = )__。
设集合 ( A = {(x, y) \mid x + y = 2} )，( B = {(x, y) \mid x - y = 0} )，则 ( A \cap B = )__。
解答题（共50分）
（12分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x \mid 3 \leq x < 7} )，( B = {x \mid 2 < x \leq 10} )。 （1）求 ( A \cup B )，( A \cap B )； （2）求 ( \complement_U (A \cup B) )。
（12分）已知集合 ( A = {x \mid -2 \leq x \leq 5} )，( B = {x \mid m+1 \leq x \leq 2m-1} )。 （1）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围； （2）若 ( A \subseteq B )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（13分）已知集合 ( A = {x \mid x^2 - ax + a^2 - 19 = 0} )，( B = {x \mid x^2 - 5x + 6 = 0} )，( C = {x \mid x^2 + 2x - 8 = 0} )，且满足 ( \varnothing \subsetneq (A \cap B) )，( A \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的值。
（13分）设集合 ( A = {x \mid x^2 - 3x + 2 = 0} )，( B = {x \mid x^2 - 4x + a = 0} )。 （1）若 ( A \cup B = A )，求实数 ( a ) 的取值范围； （2）若集合 ( A ) 与 ( B ) 中所有元素之和为8，求实数 ( a ) 的值及对应的集合 ( B )。
2025年高中数学集合知识测试卷答案
选择题
- C （元素为 -1,0,1,2,3,共6个）
- A
- C （( M = {1, 2} )）
- A
- A （由集合元素互异性及 ( P=Q )，可得 ( a \neq 1 )，讨论得 ( a=-1, b=0 ) 或 ( a=0, b=-1 ),结果均为0）
- C （( A = [-2, 2] )，( \complement_U B = (-\infty, 1] )，交集为 ([-2, 1])）
填空题7. ({2, 4}) 8. 7 （非空子集个数 ( 2^3 - 1 = 7 )） 9. 3 10. ({(1, 1)}) （解方程组 ( \begin{cases} x+y=2 \ x-y=0 \end{cases} )）
解答题11. （1）( A \cup B = {x \mid 2 < x \leq 10} )（或 ((2, 10])） ( A \cap B = {x \mid 3 \leq x < 7} )（或 ([3, 7))） （2）( \complement_U (A \cup B) = {x \mid x \leq 2 \text{ 或 } x > 10} )（或 ((-\infty, 2] \cup (10, +\infty))）
（1）若 ( B = \varnothing )，则 ( m+1 > 2m-1 )，解得 ( m < 2 )； 若 ( B \neq \varnothing )，则 ( \begin{cases} m+1 \leq 2m-1 \ m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases} ) 解得 ( 2 \leq m \leq 3 )。 综上，( m \leq 3 )。 （2）若 ( A \subseteq B )，则 ( \begin{cases} m+1 \leq -2 \ 2m-1 \geq 5 \end{cases} ) 解得 ( m \leq -3 ) 且 ( m \geq 3 )，无解，故不存在 ( m ) 使 ( A \subseteq B )。
解：( B = {2, 3} )，( C = {2, -4} )。 由 ( \varnothing \subsetneq (A \cap B) ) 知 ( A \cap B \neq \varnothing )，即 ( A ) 中必含有元素2或3。 由 ( A \cap C = \varnothing ) 知 ( 2 \notin A )，( -4 \notin A )。 ( 3 \in A )，代入 ( x^2 - ax + a^2 - 19 = 0 ) 得 ( 9 - 3a + a^2 - 19 = 0 )，即 ( a^2 - 3a - 10 = 0 )， 解得 ( a = 5 ) 或 ( a = -2 )。 当 ( a = 5 ) 时，( A = {x \mid x^2 - 5x + 6 = 0} = {2, 3} )，与 ( 2 \notin A ) 矛盾，舍去。 当 ( a = -2 ) 时，( A = {x \mid x^2 + 2x - 15 = 0} = {-5, 3} )，符合题意。 综上，实数 ( a = -2 )。
（1）( A = {1, 2} )。 由 ( A \cup B = A ) 得 ( B \subseteq A )。 ① 若 ( B = \varnothing )，则 ( \Delta = 16 - 4a < 0 )，解得 ( a > 4 )。 ② 若 ( B \neq \varnothing )，则 ( B ) 中元素为1或2或{1,2}。
- 若 ( 1 \in B )，则 ( 1 - 4 + a = 0 )，( a = 3 )，( B = {1, 3} )，不满足 ( B \subseteq A )。
- 若 ( 2 \in B )，则 ( 4 - 8 + a = 0 )，( a = 4 )，( B = {2} ),满足。
- 若 ( B = {1, 2} )，则 ( 1+2=4 ) 且 ( 1 \times 2 = a )，无解。 综上，( a ) 的取值范围是 ( {4} \cup (4, +\infty) )（或 ( a \geq 4 ) 且 ( a \neq 3 )）。 （2）集合 ( A ) 中元素之和为 ( 1+2=3 )，故 ( B ) 中元素之和为 ( 8-3=5 )。 若 ( B = \varnothing )，不成立。 若 ( B ) 有两个元素 ( p, q )，则 ( p+q=4 )（由韦达定理），与 ( p+q=5 ) 矛盾。 故 ( B ) 只有一个元素，设为 ( t )，则 ( t = 5 )，且 ( \Delta = 16 - 4a = 0 )，解得 ( a = 4 )。 ( B = {2} )，但元素和为2，与 ( t=5 ) 矛盾？检查：当 ( B ) 只有一个元素时，该元素为方程 ( x^2 - 4x + a = 0 ) 的重根，由韦达定理，该根 ( t = 2 )（因为 ( t+t=4 )），( t=2 )，元素和为2，与要求的5矛盾，不存在满足条件的 ( a )。（注：此题第（2）问设计可能存在歧义或矛盾，意在考察审题与讨论的严谨性，若将“所有元素之和”理解为 ( A ) 与 ( B ) 的并集的所有元素之和，则 ( A \cup B ) 的元素之和为8，此时需重新讨论：若 ( B \subseteq A )，则 ( A \cup B = A )，元素和为3，不成立；若 ( B ) 有不在 ( A ) 中的元素，设 ( B ) 的元素为 ( u, v )（可能相等），则 ( A \cup B ) 的元素为 ( 1, 2, u, v )（去重），和为 ( 1+2+u+v = 3+(u+v) = 3+4 = 7 )，要求为8，则需 ( u+v=5 )，但由方程知 ( u+v=4 )，矛盾，故无解，无论哪种理解，均无解，本题可视为一个探索性问题，结论为不存在这样的 ( a )。）