选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x < 3 } )， ( B = { x | 0 \leq x < 5 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \leq x < 3 } ) B. ( { x | -2 < x < 5 } ) C. ( { x | 0 < x < 3 } ) D. ( { x | -2 < x \leq 0 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) B. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
下列函数中,与函数 ( y = x ) 表示同一函数的是（ ） A. ( y = \sqrt{x^2} ) B. ( y = (\sqrt{x})^2 ) C. ( y = \frac{x^2}{x} ) D. ( y = \sqrt[3]{x^3} )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) C. ( a|c| > b|c| ) D. ( a + c > b + c )
函数 ( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{x-2} ) 的定义域为（ ） A. ( [-1, 2) \cup (2, +\infty) ) B. ( (-1, 2) \cup (2, +\infty) ) C. ( [-1, +\infty) ) D. ( (2, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 )，则 ( x + 2y ) 的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
设奇函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( \frac{f(x)}{x} < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 0) \cup (0, 2) ) B. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) D. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列结论正确的是（ ） A. ( \sqrt{4} = 2 ) B. 集合 ( { x | x^2 - 1 = 0 } ) 与集合 ( {-1, 1} ) 是同一个集合 C. 若 ( a > b > 0, \, m > 0 )，则 ( \frac{b}{a} < \frac{b+m}{a+m} ) D. 函数 ( f(x) = x^2 - 2x + 3 ) 在区间 ( (-\infty, 1] ) 上是减函数
关于函数 ( f(x) = |x-1| + 2 )，下列说法正确的是（ ） A. 图像关于直线 ( x = 1 ) 对称 B. 最小值为 2 C. 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增 D. 值域为 ( [2, +\infty) )
已知正实数 ( a, b ) 满足 ( a + b = 4 )，则下列结论正确的有（ ） A. ( ab ) 的最大值为 4 B. ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值为 1 C. ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) 的最大值为 ( 2\sqrt{2} ) D. ( a^2 + b^2 ) 的最小值为 8
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知函数 ( f(2x - 1) = x^2 + 1 )，则 ( f(3) = )__。
已知 ( x > 1 )，则 ( x + \frac{4}{x-1} ) 的最小值为__，( x = )__。
某学校举办运动会,高一某班有 20 名同学参加跑步比赛，有 15 名同学参加跳远比赛，两项都参加的有 8 名同学，则该班参加这两项比赛的共有__名同学。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = B )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值和最小值。
（15分）解下列不等式： （1）( \frac{2x - 1}{x + 3} \geq 1 )； （2）( x^2 - (a+1)x + a < 0 )（( a ) 为常数）。
（17分）已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，当 ( x \leq 0 ) 时， ( f(x) = x^2 + 2x )。 （1）求函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的解析式； （2）在给出的坐标系中画出函数 ( f(x) ) 的简图，并根据图像写出 ( f(x) ) 的单调递增区间； （3）若方程 ( f(x) = m ) 有四个不相等的实数根，求实数 ( m ) 的取值范围。
（17分）为响应国家节能减排的号召，某企业计划对生产设备进行升级改造，现有两种方案可供选择： 方案一：一次性投资 50 万元，每年可节省能源费用 10 万元； 方案二：每年初投资 5 万元进行改造，连续投资 3 年，从第 4 年初开始，每年可节省能源费用 8 万元。 假设设备使用年限足够长，节省的能源费用每年都会产生，不考虑其他因素。 （1）设经过 ( n ) 年（( n \in \mathbb{N}^* )）后，方案一的总节省费用（总节省能源费用减去总投资，下同）为 ( S_1 ) 万元，方案二的总节省费用为 ( S_2 ) 万元，分别写出 ( S_1, S_2 ) ( n ) 的函数关系式； （2）从长远来看，哪种方案总节省费用更高？请说明理由。
2025年高一上册数学（人教版）综合测试卷 参考答案
选择题
A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. D
多选题9. AB 10. ABCD 11. BCD
填空题12. 5 13. 5， 3 14. 27
解答题15. (1) ( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )； ( C_U A = { x | x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )， ( (C_U A) \cap B = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 (2) 由 ( B \cap C = B ) 知 ( B \subseteq C )， 因为 ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )， ( C = { x | x > a } )， ( a \leq 4 )。 故实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 4] )。
(1) 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上单调递减。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2+1} - \frac{x_2}{x_2^2+1} = \frac{(x_1x_2-1)(x_2-x_1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} )。 因为 ( 1 \leq x_1 < x_2 )，( x_2 - x_1 > 0 )， ( x_1x_2 > 1 )，即 ( x_1x_2 - 1 > 0 )。 又 ( (x_1^2+1)(x_2^2+1) > 0 )， ( f(x_1) - f(x_2) > 0 )，即 ( f(x_1) > f(x_2) )。 故函数 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递减。 (2) 由（1）知，函数 ( f(x) ) 在 ( [1, 3] ) 上单调递减， 所以最大值为 ( f(1) = \frac{1}{2} )， 最小值为 ( f(3) = \frac{3}{10} )。
(1) 原不等式移项得：( \frac{2x-1}{x+3} - 1 \geq 0 )，即 ( \frac{x-4}{x+3} \geq 0 )。 等价于 ( (x-4)(x+3) \geq 0 ) 且 ( x+3 \neq 0 )。 解得 ( x < -3 ) 或 ( x \geq 4 )。 所以原不等式的解集为 ( (-\infty, -3) \cup [4, +\infty) )。 (2) 原不等式可化为 ( (x-1)(x-a) < 0 )。 当 ( a > 1 ) 时，解集为 ( (1, a) )； 当 ( a = 1 ) 时，不等式为 ( (x-1)^2 < 0 )，解集为 ( \varnothing )； 当 ( a < 1 ) 时，解集为 ( (a, 1) )。
(1) 当 ( x > 0 ) 时，( -x < 0 )，则 ( f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x )。 因为 ( f(x) ) 是偶函数，( f(x) = f(-x) = x^2 - 2x )。 故 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq 0 \ x^2 - 2x, & x > 0 \end{cases} )。 (2) 图像略（图像由两段抛物线组成，关于y轴对称，顶点分别为(-1,-1)和(1,-1)）。 单调递增区间为 ( [-1, 0] ) 和 ( [1, +\infty) )。 (3) 由图像可知，当 ( -1 < m < 0 ) 时，直线 ( y = m ) 与函数 ( y = f(x) ) 的图像有四个不同的交点，即方程 ( f(x) = m ) 有四个不相等的实数根。 故实数 ( m ) 的取值范围是 ( (-1, 0) )。
(1) 方案一：( S_1(n) = 10n - 50 )。 方案二：当 ( 1 \leq n \leq 3 ) 时，总投资为 ( 5n ) 万元，节省费用为0，故 ( S_2(n) = -5n )。 当 ( n \geq 4 ) 时，前三年总投资15万元，从第4年到第n年共节省 ( 8(n-3) ) 万元。 故 ( S_2(n) = 8(n-3) - 15 = 8n - 39 )。 即 ( S_2(n) = \begin{cases} -5n, & 1 \leq n \leq 3 \ 8n - 39, & n \geq 4 \end{cases} )。 (2) 令 ( S_1(n) = S_2(n) )。 当 ( n \geq 4 ) 时，令 ( 10n - 50 = 8n - 39 )，解得 ( n = 5.5 )。 因为 ( n \in \mathbb{N}^* )，所以比较 ( n=5 ) 和 ( n=6 ) 时的情况。 当 ( n=5 ) 时，( S_1(5)=0 )， ( S_2(5)=1 )， ( S_2 > S_1 )。 当 ( n=6 ) 时，( S_1(6)=10 )， ( S_2(6)=9 )， ( S_1 > S_2 )。 且当 ( n > 6 ) 时，( S_1(n) - S_2(n) = 2n - 11 > 0 )，即 ( S_1(n) > S_2(n) )。 从长远看（使用年限超过6年），方案一的总节省费用更高。