（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x | -2 < x < 3 } )，( B = { x | x \ge 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \le x < 3 } ) B. ( { x | x > -2 } ) C. ( { x | x \ge 0 } ) D. ( { x | -2 < x \le 0 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) C. ( \exists x \le 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) D. ( \forall x \le 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, +\infty) ) B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) D. ( (2, +\infty) )
已知 ( a > b > 0 )，( c < 0 )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( ac > bc ) B. ( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ) C. ( a^2 < b^2 ) D. ( a + c > b + c )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^2 )，( c = \log_{0.3} 2 )，则（ ） A. ( a > b > c ) B. ( b > a > c ) C. ( c > a > b ) D. ( a > c > b )
已知 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos \alpha = )（ ） A. ( \frac{4}{5} ) B. ( -\frac{4}{5} ) C. ( \frac{3}{4} ) D. ( -\frac{3}{4} )
为了得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象（ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 B. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 D. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位
已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = )（ ） A. 3 B. -3 C. ( \frac{1}{3} ) D. ( -\frac{1}{3} )
函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3) ) 的单调递增区间是（ ） A. ( (-\infty, -1) ) B. ( (-\infty, 1) ) C. ( (1, +\infty) ) D. ( (3, +\infty) )
已知函数 ( f(x) = a^x )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）在区间 ( [1, 2] ) 上的最大值比最小值大 ( \frac{a}{2} )，则 ( a ) 的值为（ ） A. ( \frac{1}{2} ) 或 ( \frac{3}{2} ) B. ( \frac{2}{3} ) 或 ( \frac{3}{2} ) C. ( \frac{1}{2} ) 或 2 D. ( \frac{2}{3} ) 或 2
已知定义在 ( R ) 上的奇函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且当 ( x \in [0, 1] ) 时，( f(x) = 2^x - 1 )，则 ( f(2025) = )（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
计算：( (\frac{1}{2})^{-2} + \log_3 9 - 8^{\frac{2}{3}} = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) x^{m-3} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，则 ( m = )__。
已知 ( \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} )，则 ( \sin 2\alpha = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \le 1 \ (2a-1)x + 3a, & x > 1 \end{cases} ) 满足对任意 ( x_1 \neq x_2 )，都有 ( \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0 ) 成立，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知全集 ( U = R )，集合 ( A = { x | 3 \le x < 7 } )，( B = { x | 4 < x \le 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(4, -3) )。 （1）求 ( \sin \alpha )，( \cos \alpha )，( \tan \alpha ) 的值； （2）求 ( \frac{\sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(3\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）若函数 ( f(x) ) 的最小值为 -2，求 ( a ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（12分）近年来，某企业每年需要向河流中排放一定量的污水，为保护环境，该企业决定对污水进行处理后再排放，已知该企业每月处理污水的成本 ( C )（万元）与月处理量 ( x )（千吨）之间满足函数关系：( C(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 2x, & 0 \le x \le 10 \ 20x + \frac{200}{x} - 120, & x > 10 \end{cases} )。 （1）当每月处理量为 8 千吨时，求每千吨的处理成本（即平均成本 ( \frac{C(x)}{x} )）； （2）该企业每月处理量为多少千吨时，才能使每千吨的处理成本最低？并求出最低成本。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^{x+1} + a} ) 是定义在 ( R ) 上的奇函数。 （1）求实数 ( a )，( b ) 的值； （2）判断并证明 ( f(x) ) 在 ( R ) 上的单调性； （3）若不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 ) 对任意 ( t \in R ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
2025年高一数学人教版课本综合测试卷（带答案）
选择题
A 2. B 3. B 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B 9. A 10. D 11. C 12. A
填空题13.114.-115.-\frac{7}{9}16.[\frac{1}{2}, 1]
解答题17. (1) ( A \cup B = { x | 3 \le x \le 10 } )；( (C_U A) \cap B = { x | 7 \le x \le 10 } )。 (2) ( a \ge 10 )。
(1) ( r = 5 )，( \sin \alpha = -\frac{3}{5} )，( \cos \alpha = \frac{4}{5} )，( \tan \alpha = -\frac{3}{4} )。 (2) 原式 = ( \frac{\sin \alpha - \sin \alpha}{-\cos \alpha + \cos \alpha} )，分母为0，原式无意义。
(1) 由 ( \begin{cases} 1-x > 0 \ x+3 > 0 \end{cases} ) 得 ( -3 < x < 1 )，定义域为 ( (-3, 1) )。 (2) ( f(x) = \loga [-(x+1)^2 + 4] )，当 ( x = -1 ) 时，真数最大为4。 若 ( a > 1 )，则 ( f(x){min} = \loga 4 = -2 )，解得 ( a = \frac{1}{2} )（舍）； 若 ( 0 < a < 1 )，则 ( f(x){min} = \log_a 4 = -2 )，解得 ( a = 2 )（舍），故无解？需检查题目逻辑，若最小值为-2，则 ( \loga 4 = -2 )，得 ( a^{-2}=4 )，( a^2=\frac{1}{4} )，( a=\frac{1}{2} )（a>0），此时函数在(-3,1)内，真数范围(0,4]，以( a=\frac{1}{2} )（0<a<1）为底的对数函数单调递减，在真数最大时取最小值，故当x=-1时，( f(x){min} = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 )，成立。( a = \frac{1}{2} )。
(1) ( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )。 最小正周期 ( T = \pi )。 单调递增区间：( [-\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{12} + k\pi], \, k \in Z )。 (2) 当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，( 2x+\frac{\pi}{3} \in [0, \pi] )，( \sin(2x+\frac{\pi}{3}) \in [0, 1] )。 值域为 ( [0, 2] )。
(1) 当 ( x=8 ) 时，( C(8) = \frac{1}{2} \times 64 + 16 = 48 ) 万元。 平均成本为 ( 48 / 8 = 6 ) 万元/千吨。 (2) 当 ( 0 \le x \le 10 ) 时，平均成本 ( g(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{1}{2}x + 2 \ge 2 + 2 = 4 )，当且仅当 ( x=4 ) 时取等。 当 ( x > 10 ) 时，平均成本 ( g(x) = 20 + \frac{200}{x^2} - \frac{120}{x} )，令 ( t = \frac{1}{x} )（0 < t < 0.1），( g = 200t^2 - 120t + 20 )，在 ( t=0.03 )（即 ( x=\frac{100}{3} \approx 33.3 )）时对称轴，但区间内递减？求导或分析：( g(x) = 20 + \frac{200}{x^2} - \frac{120}{x} )，( g'(x) = -\frac{400}{x^3} + \frac{120}{x^2} = \frac{120x - 400}{x^3} )，当 ( x > 10 ) 时，令 ( g'(x)=0 ) 得 ( x=\frac{10}{3} )（不在 ( x>10 ) 内），当 ( x>10 ) 时，( g'(x) > 0 ) 恒成立？计算：( x=20 )，( g'(20) = (2400-400)/8000 >0 )。( g(x) ) 在 ( x>10 ) 时单调递增，最小值为 ( g(10) = 20 + 2 - 12 = 10 )。 比较 ( x=4 ) 时成本4万元/千吨和 ( x>10 ) 时的最小成本10万元/千吨，故每月处理4千吨时，每千吨处理成本最低，为4万元。
(1) 由 ( f(0)=0 ) 得 ( \frac{b-1}{2+a}=0 )，( b=1 )。 由 ( f(-x) = -f(x) ) 得 ( \frac{1-2^{-x}}{2^{-x+1}+a} = -\frac{1-2^x}{2^{x+1}+a} )，代入 ( b=1 ) 并整理，利用恒等式解得 ( a=2 )。 故 ( a=2, b=1 )。 (2) ( f(x) = \frac{1-2^x}{2^{x+1}+2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2^x - 1}{2^x + 1} = -\frac{1}{2} (1 - \frac{2}{2^x+1}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{2^x+1} - 1) )。 设 ( x_1 < x_2 )，则 ( 2^{x_1} < 2^{x_2} )，( 2^{x_1}+1 < 2^{x_2}+1 )，( \frac{2}{2^{x_1}+1} > \frac{2}{2^{x_2}+1} )，( f(x_1) > f(x_2) )，故 ( f(x) ) 在 ( R ) 上单调递减。 (3) 由奇函数和单调递减，不等式化为 ( f(t^2 - 2t) < -f(2t^2 - k) = f(k - 2t^2) )。 故 ( t^2 - 2t > k - 2t^2 ) 恒成立，即 ( 3t^2 - 2t - k > 0 ) 对 ( \forall t \in R ) 恒成立。 需 ( \Delta = 4 + 12k < 0 )，解得 ( k < -\frac{1}{3} )。 实数 ( k ) 的取值范围为 ( (-\infty, -\frac{1}{3}) )。