选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | x^2 - 3x + 2 = 0 } )， ( B = { 1, 2, 3 } )，则 ( A \cap B = ) （ ） A. ( {1} ) B. ( {1, 2} ) C. ( {2, 3} ) D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [1, +\infty) ) B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) D. ( [1, 3) )
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 （ ） A. ( a > b > c ) B. ( b > a > c ) C. ( c > a > b ) D. ( a > c > b )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( R ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = ) （ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
为了得到函数 ( y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) ) 的图象，只需将函数 ( y = \sin 2x ) 的图象 （ ） A. 向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 B. 向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位 C. 向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位 D. 向右平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位
已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( 3\cos 2\alpha - 8\cos \alpha = 5 )，则 ( \sin \alpha = ) （ ） A. ( \frac{\sqrt{5}}{3} ) B. ( \frac{2}{3} ) C. ( \frac{1}{3} ) D. ( \frac{\sqrt{5}}{9} )
设函数 ( f(x) = \begin{cases} e^{x-1}, & x < 1 \ \ln x + 2, & x \geq 1 \end{cases} )，则方程 ( f(x) = 2 ) 的解的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是 （ ） A. ( y = |x| + 1 ) B. ( y = x^2 + 1 ) C. ( y = 2^{-|x|} ) D. ( y = \log_2 |x| )
下列说法正确的是 （ ） A. “ ( x > 2 ) ” 是 “ ( x > 3 ) ” 的必要不充分条件 B. 函数 ( f(x) = \frac{1}{x} ) 在其定义域内是减函数 C. 若 ( a > b > 0, \, m > 0 )，则 ( \frac{b}{a} < \frac{b+m}{a+m} ) D. 函数 ( y = x + \frac{4}{x} (x>0) ) 的最小值为 4
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi)(\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 （ ） （此处应有图象，描述：一个正弦型曲线，从图象上可判断出四分之一周期和零点等信息，用于解题） A. ( \omega = 2 ) B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} ) C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于直线 ( x = \frac{\pi}{3} ) 对称 D. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}] ) 上单调递增
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
计算： ( (\frac{1}{2})^{-2} + \log_2 4 + \lg 100 = )__。
已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = )__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2ax, & x \geq 0 \ 2^x + 1, & x < 0 \end{cases} ) 是 ( R ) 上的增函数，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知全集 ( U = R )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = B )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（15分）已知定义在 ( R ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^x + a} ) 是奇函数。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）判断并证明函数 ( f(x) ) 在 ( R ) 上的单调性； （3）若对任意的 ( t \in [1, 2] )，不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
（17分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某公司计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益 ( P )（单位：万元）与投入 ( a )（单位：万元）满足 ( P = 3\sqrt{a} - 8 )，在乙城市的收益 ( Q )（单位：万元）与投入 ( b )（单位：万元）满足 ( Q = \frac{1}{4}b + 2 )，设公司在甲城市投入 ( x ) 万元。 （1）试写出公司所获总收益 ( W )（单位：万元）( x ) 的函数解析式； （2）公司如何分配在甲、乙两座城市的投资金额，才能使总收益最大？并求出最大总收益。
（17分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) )，( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断其奇偶性； （2）若 ( f(x) ) 在区间 ( (-3, 1) ) 上的最小值为 -2，求实数 ( a ) 的值； （3）若 ( a > 1 )，是否存在实数 ( m )，使得 ( f(x) ) 在区间 ( [m-1, m] ) 上的值域为 ( [\log_a p, \log_a q] )？若存在，求出 ( m, p, q ) 的值；若不存在,请说明理由。
2025年高一数学综合测试卷参考答案
选择题
B 2. B 3. B 4. A 5. A 6. B 7. A 8. C
多选题9. AD 10. AC 11. ABD （注：第11题答案基于对图象描述的特定判断,实际需根据图象确定）
填空题12. ( 9 ) 13. ( 3 ) 14. ( [-\frac{1}{2}, 0] ) （或 ( -\frac{1}{2} \leq a \leq 0 )）
解答题15. (1) ( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )； ( (C_U A) \cap B = { x | x < 3 \, 或 \, x \geq 7 } \cap { x | 4 < x \leq 10 } = { x | 7 \leq x \leq 10 } )。 (2) 由 ( B \cap C = B ) 知 ( B \subseteq C )，( a \leq 4 )。
(1) ( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} (2\cos^2 x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )。 最小正周期 ( T = \pi )。 单调递增区间：由 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi ) 得 ( -\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{12} + k\pi, \, k \in Z )。 (2) 当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时， ( 2x + \frac{\pi}{3} \in [0, \pi] )， ( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) \in [0, 1] )，故值域为 ( [0, 2] )。
(1) 由 ( f(0)=0 ) 得 ( b=1 )，由 ( f(-1) = -f(1) ) 代入验证得 ( a=1 )。 (2) ( f(x) = \frac{1-2^x}{1+2^x} = -1 + \frac{2}{1+2^x} )，设 ( x_1 < x_2 )，则 ( f(x_1) - f(x_2) = ... > 0 )，故 ( f(x) ) 在 ( R ) 上单调递减。 (3) 不等式化为 ( f(t^2-2t) < -f(2t^2-k) = f(k-2t^2) )，由单调递减得 ( t^2-2t > k-2t^2 )，即 ( k < 3t^2 - 2t ) 对 ( t \in [1,2] ) 恒成立。( 3t^2-2t ) 在 ([1,2]) 上最小值为 ( 1 )（当 ( t=1 ) 时），故 ( k < 1 )。
(1) 由题意，在乙城市投资为 ( (160-x) ) 万元，依题意有 ( \begin{cases} x \geq 30 \ 160-x \geq 30 \end{cases} )，解得 ( 30 \leq x \leq 130 )。 ( W = P+Q = (3\sqrt{x} - 8) + [\frac{1}{4}(160-x) + 2] = 3\sqrt{x} - \frac{1}{4}x + 34, \, x \in [30, 130] )。 (2) 令 ( t = \sqrt{x} \in [\sqrt{30}, \sqrt{130}] )，则 ( W = -\frac{1}{4}t^4 + 3t + 34 )，令 ( g(t) = -\frac{1}{4}t^4 + 3t + 34 )，求导或配方（视学生知识水平）可得当 ( t=6 ) 即 ( x=36 ) 时，( W_{max} = 70 )（万元），此时甲城投36万,乙城投124万。
(1) 由 ( \begin{cases} 1-x > 0 \ x+3 > 0 \end{cases} ) 得定义域为 ( (-3, 1) )，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数。 (2) ( f(x) = \loga [-(x+1)^2 + 4] )，令 ( u = -(x+1)^2 + 4 \in (0, 4] )。 若 ( 0 < a < 1 )，则 ( f(x){min} = \loga 4 = -2 )，解得 ( a = 2 )（舍去）。 若 ( a > 1 )，则 ( f(x){min} = \loga u{min} )，但 ( u ) 在 ( (-3,1) ) 上无最小值（无限接近0），故需讨论区间，当 ( a>1 ) 时，( f(x) ) 在 ( (-3, -1) ) 增，在 ( (-1, 1) ) 减，若区间 ( (-3,1) ) 包含顶点 ( x=-1 )，则最小值为 ( f(-1) = \log_a 4 = -2 )，得 ( a = \frac{1}{2} )（舍去，因为 ( a>1 )），只有当 ( 0<a<1 ) 时，由 ( \log_a 4 = -2 ) 得 ( a^{-2}=4 )， ( a=\frac{1}{2} )。 ( a = \frac{1}{2} )。 (3) （略，考察对数函数性质与二次函数复合，需分类讨论区间与最值关系,过程较长）