（考试时间：90分钟 满分：100分）
选择题（每题3分，共15分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = ) （ ） A. ( { x \mid 0 \leq x \leq 3 } ) B. ( { x \mid x > -2 } ) C. ( { x \mid 0 < x \leq 3 } ) D. ( { x \mid x \leq 3 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [2, +\infty) ) B. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a > b > 0 )，( c < 0 )，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ) B. ( ac < bc ) C. ( a^2 c < b^2 c ) D. ( \frac{c}{a} > \frac{c}{b} )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = ) （ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
填空题（每空2分，共20分）
用列举法表示集合：( { x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 1 } = )__。
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，则 ( a^2 + b^2 )__( 2ab )。（填“≥”、“≤”或“=”）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_2 8 - \lg 100 = )__。
函数 ( y = \frac{1}{x-1} ) 的单调减区间是__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) x^{m-1} ) 的图象过原点，则 ( m = )__。
已知 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ -x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )__。
已知 ( x > 1 )，则 ( x + \frac{4}{x-1} ) 的最小值为__，( x = )__。
若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 1 ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（共65分）
（8分）计算与化简：（1）( \left( 2\frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{2}} - (-0.5)^0 + \left( \frac{8}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} ) （2）( \lg 25 + \lg 4 + 2^{\log_2 3} + \ln \sqrt{e} )
（8分）解下列不等式：（1）( x^2 - 5x + 6 \leq 0 ) （2）( \frac{2x-1}{x+3} > 1 )
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )。（1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）已知集合 ( C = { x \mid x < a } )，若 ( C \cap A \neq \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。（1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 \, (a > 1) )。（1）若函数 ( f(x) ) 的定义域和值域均为 ( [1, a] )，求实数 ( a ) 的值； （2）若 ( f(x) ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上是减函数，且对任意的 ( x_1, x_2 \in [1, a+1] )，总有 ( |f(x_1) - f(x_2)| \leq 4 )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，当 ( x \geq 0 ) 时，( f(x) = -x^2 + 2x )。（1）求函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的解析式； （2）在给定的直角坐标系中画出函数 ( f(x) ) 的简图（需体现关键点），并根据图象写出 ( f(x) ) 的单调递增区间； （3）若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = m ) 有四个不相等的实数根，求实数 ( m ) 的取值范围。
参考答案
选择题
- A
- B
- B
- D
- C
填空题6. ( {-1, 0, 1} ) 7. ≥ 8. ( 3 + 3 - 2 = 4 ) 9. ( (-\infty, 1) ) 和 ( (1, +\infty) ) （或分开写） 10. ( 3 ) （由 ( m^2 - 2m - 2 = 1 ) 且 ( m-1 > 0 ) 解得） 11. ( 2 ) （( f(0)=1 )，( f(1)=2 )） 12. ( 5 )，( 3 ) （( x + \frac{4}{x-1} = (x-1) + \frac{4}{x-1} + 1 \geq 2\sqrt{4} + 1 = 5 )） 13. ( [2, +\infty) ) （对称轴 ( x = a )，需满足 ( a \geq 2 )）
解答题14. (1) 原式 ( = \sqrt{\frac{9}{4}} - 1 + \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} - 1 + \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right]^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} = \frac{11}{4} ) (2) 原式 ( = \lg(25 \times 4) + 3 + \frac{1}{2} = \lg 100 + 3.5 = 2 + 3.5 = 5.5 )
(1) 不等式 ( (x-2)(x-3) \leq 0 ) 的解集为 ( [2, 3] )。 (2) 移项得 ( \frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0 )，即 ( \frac{x-4}{x+3} > 0 )，解得 ( x < -3 ) 或 ( x > 4 )，解集为 ( (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) )。
(1) ( A \cup B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )。 ( C_U A = { x \mid x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )， ( (C_U A) \cap B = { x \mid 2 < x < 3 \text{ 或 } 7 \leq x \leq 10 } )。 (2) 因为 ( C \cap A \neq \varnothing )，且 ( A = [3, 7) )，( a > 3 )，故 ( a ) 的取值范围是 ( (3, +\infty) )。
(1) ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{(2x_1-1)(x_2+1) - (2x_2-1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)} ) ( = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 因为 ( x_1 < x_2 )，且 ( x_1, x_2 > 1 )，( x_1 - x_2 < 0 )，( (x_1+1)(x_2+1) > 0 )。 故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )，所以函数单调递增。 (2) 由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增。 最小值为 ( f(2) = \frac{3}{3} = 1 )，最大值为 ( f(5) = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} )。 值域为 ( [1, \frac{3}{2}] )。
(1) 对称轴为 ( x = a > 1 )，( f(x) ) 在 ( [1, a] ) 上单调递减。 则 ( f(1) = a ) 且 ( f(a) = 1 )。 即 ( 1 - 2a + 5 = a ) 且 ( a^2 - 2a^2 + 5 = 1 )。 由第一式得 ( 6 - 2a = a )，解得 ( a = 2 )，代入第二式成立，故 ( a = 2 )。 (2) 由题意，对称轴 ( x = a \geq 2 )。 在区间 ( [1, a+1] ) 上，( f(x){\text{max}} = f(1) = 6 - 2a )，( f(x){\text{min}} = f(a) = 5 - a^2 )。 因为对任意的 ( x_1, x_2 )，总有 ( |f(x_1) - f(x2)| \leq 4 )，即 ( f(x){\text{max}} - f(x)_{\text{min}} \leq 4 )。 ( (6 - 2a) - (5 - a^2) \leq 4 )，即 ( a^2 - 2a - 3 \leq 0 )，解得 ( -1 \leq a \leq 3 )。 结合 ( a \geq 2 ) 且 ( a > 1 )，得 ( 2 \leq a \leq 3 )。
(1) 当 ( x < 0 ) 时，( -x > 0 )，则 ( f(x) = f(-x) = -(-x)^2 + 2(-x) = -x^2 - 2x )。 故 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \geq 0 \ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases} ) (2) 图象略（关于y轴对称，在y轴右侧为开口向下，顶点为(1,1)，与x轴交于(0,0)和(2,0)的抛物线的一段；左侧与之对称）。 单调递增区间为：( (-\infty, -1] ) 和 ( [0, 1] )。 (3) 方程 ( f(x) = m ) 有四个不等实根，即函数 ( y = f(x) ) 的图象与水平直线 ( y = m ) 有四个交点。 由图象可知，当 ( m \in (0, 1) ) 时,满足条件。