选择题（每题5分，共40分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( (0, 3) )
B. ( [-2, 4] )
C. ( [0, 3) )
D. ( (-2, 4] )复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} ) 的虚部为（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. ( i )函数 ( f(x) = \ln(x+1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
A. ( (-1, 4] )
B. ( [-1, 4] )
C. ( (1, 4] )
D. ( [-1, 4) )已知等差数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和为 (S_n)，若 (a_3 + a_7 = 10)，则 (S_9 =)（ ）
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60双曲线 ( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 ) 的离心率为（ ）
A. ( \frac{5}{3} )
B. ( \frac{4}{3} )
C. ( \frac{3}{2} )
D. ( \frac{5}{4} )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( m = )（ ）
A. 2
B. -2
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )若 ( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} )，则 ( \sin 2\theta = )（ ）
A. ( -\frac{3}{4} )
B. ( \frac{3}{4} )
C. ( -\frac{1}{4} )
D. ( \frac{1}{4} )已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )，则 ( f(x) ) 的极大值为（ ）
A. 4
B. 2
C. 0
D. -2
填空题（每题5分，共20分）
9. 若 ( \log_2 x = 3 )，则 ( x = )__。
10. 二项式 ( (2x - 1)^5 ) 的展开式中 ( x^3 ) 的系数为__。
11. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 )，则圆心坐标为__。
12. 在 (\triangle ABC) 中，( a = 3, b = 4, \angle C = 60^\circ )，则 ( c = )__。
解答题（共40分）
13. （10分）已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )。
（1）求数列 ({a_n}) 的通项公式；
（2）求数列 ({a_n}) 的前 (n) 项和 (S_n)。
（15分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )。
（1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
（2）求二面角 ( P-BD-A ) 的正切值。（15分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )。
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）若 ( f(x) \geq 0 ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
参考答案
一、选择题
C 2. C 3. A 4. A 5. A 6. A 7. A 8. A
填空题
9. 8 10. 80 11. ( (2, -3) ) 12. ( \sqrt{13} )
解答题
13. （1）( a_n = 2^n - 1 )；（2）( S_n = 2^{n+1} - n - 2 )
14. （1）略（通过线面垂直判定证明）；（2）正切值为 ( \sqrt{2} )
15. （1）当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，在 ( (-\infty, \ln a) ) 单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 单调递增；
（2）( a \leq 1 )
试卷说明：本卷由“中学学科网数学组卷”系统生成，适用于2025年高考数学模拟练习，涵盖代数、几何、函数等核心考点,注重基础与综合能力的结合。