（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知复数 ( z = 1 - i )，则 ( \bar{z} ) 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知向量 ( \vec{a} = (2, 1) )，( \vec{b} = (-1, 3) )，则 ( 2\vec{a} - \vec{b} ) 等于（ ） A. (3, 5) B. (5, -1) C. (5, 1) D. (3, -5)
在 (\triangle ABC) 中，若 ( a = 3, b = 4, \sin A = \frac{1}{3} )，则 ( \sin B = )（ ） A. ( \frac{4}{9} ) B. ( \frac{1}{4} ) C. ( \frac{9}{4} ) D. ( \frac{4}{3} )
已知棱长为 ( 2 ) 的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是（ ） A. ( 6\pi ) B. ( 12\pi ) C. ( 24\pi ) D. ( 48\pi )
已知 ( \alpha )，( \beta ) 是两个不同的平面，( m )，( n ) 是两条不同的直线，下列命题中错误的是（ ） A. 若 ( m \perp \alpha )，( n \perp \alpha )，则 ( m \parallel n ) B. 若 ( m \parallel \alpha )，( n \parallel \alpha )，则 ( m \parallel n ) C. 若 ( m \perp \alpha )，( m \perp \beta )，则 ( \alpha \parallel \beta ) D. 若 ( m \perp \alpha )，( m \subset \beta )，则 ( \alpha \perp \beta )
已知 ( \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} )，则 ( \sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = )（ ） A. ( -\frac{7}{9} ) B. ( \frac{7}{9} ) C. ( -\frac{4\sqrt{2}}{9} ) D. ( \frac{4\sqrt{2}}{9} )
在 (\triangle ABC) 中，( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 )，( |\vec{AB}| = 3 )，则 ( \vec{AB} ) 在 ( \vec{AC} ) 方向上的投影向量为（ ） A. ( \frac{2}{3} \vec{AC} ) B. ( \frac{3}{2} \vec{AC} ) C. ( 2\vec{AC} ) D. ( \frac{2}{|\vec{AC}|} \vec{AC} )
已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 ( 3 )，圆心角为 ( \frac{2\pi}{3} ) 的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. ( \frac{2\sqrt{2}\pi}{3} ) B. ( \frac{4\sqrt{2}\pi}{3} ) C. ( 2\sqrt{2}\pi ) D. ( 4\sqrt{2}\pi )
函数 ( f(x) = \sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) ) 的最小正周期是（ ） A. ( \pi ) B. ( 2\pi ) C. ( \frac{\pi}{2} ) D. ( 4\pi )
设 ( z_1, z_2 ) 为复数，则“ ( z_1 = \bar{z_2} ) ”是“ ( z_1 z_2 ) 为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
在直三棱柱 ( ABC-A_1B_1C_1 ) 中，( \angle ABC = 90^\circ )，( AB = BC = AA_1 = 2 )，则异面直线 ( A_1B ) 与 ( AC_1 ) 所成角的余弦值为（ ） A. ( \frac{\sqrt{10}}{5} ) B. ( \frac{\sqrt{5}}{5} ) C. ( \frac{\sqrt{10}}{10} ) D. ( \frac{1}{2} )
在 (\triangle ABC) 中，角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且 ( a \cos B + b \cos A = 2c \cos C )，( c = 2 )，则 (\triangle ABC) 面积的最大值为（ ） A. ( \sqrt{3} ) B. ( 2\sqrt{3} ) C. ( 3 ) D. ( 4 )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知 ( \vec{a} = (1, \lambda) )，( \vec{b} = (2, 1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( \lambda = )__。
已知复数 ( z ) 满足 ( |z| = 1 )，则 ( |z - 2i| ) 的最小值为__。
已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是__cm³。 （此处应有一幅三视图图，假设为一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个半径为1的半球组成的组合体，总体积为 ( 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} )）
在 (\triangle ABC) 中，( \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7 )，则这个三角形的最大角等于__弧度。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (-3, 2) )。 （1）求 ( |\vec{a} + \vec{b}| )； （2）若向量 ( \vec{a} + k\vec{b} ) 与 ( \vec{a} ) 垂直，求实数 ( k ) 的值。
（12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的单调递增区间； （2）当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是正方形，( PD \perp ) 平面 ( ABCD )，( PD = AB = 2 )，( E ) 为 ( PC ) 的中点。 （1）求证：( PA \parallel ) 平面 ( BDE )； （2）求三棱锥 ( E-BCD ) 的体积。
（12分）在 (\triangle ABC) 中，内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\sqrt{3}\sin C}{3c} )。 （1）求角 ( C ) 的大小； （2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，且 (\triangle ABC) 为锐角三角形，求 ( a + b ) 的取值范围。
（12分）已知复数 ( z_1 = 1 + i )，( z_2 = 3 - 4i )。 （1）若复数 ( z ) 满足 ( |z - z_1| = |z - z_2| )，求复数 ( z ) 在复平面内对应点的轨迹方程； （2）若复数 ( z ) 满足 ( |z| = 1 )，求 ( |z - z_1|^2 + |z - z_2|^2 ) 的最小值和最大值。
（12分）如图，已知 ( AB ) 是圆 ( O ) 的直径，( C ) 是圆 ( O ) 上异于 ( A, B ) 的点，( PO ) 垂直于圆 ( O ) 所在的平面，且 ( PO = OB = 1 )。 （1）若 ( D ) 为线段 ( PC ) 的中点，求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； （2）求三棱锥 ( P-ABC ) 体积的最大值。
2025年高一数学下册（人教版）期末测试卷 参考答案
选择题1-5: ABACB 6-10: AABAA 11-12: CA
填空题13. -2 14. 1 15. ( \frac{8\pi}{3} ) （需根据所设三视图图） 16. ( \frac{2\pi}{3} )
解答题17. (1) ( \vec{a} + \vec{b} = (-2, 4) )，( |\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{5} ) (2) ( \vec{a} + k\vec{b} = (1-3k, 2+2k) )，由 ( (\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 ) 得 ( 5(1-3k) + 4(2+2k)=0 )，解得 ( k = \frac{13}{7} )
( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) ) (1) 单调递增区间：( [-\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{12} + k\pi], k \in \mathbb{Z} ) (2) 当 ( x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 时，( 2x+\frac{\pi}{3} \in [0, \pi] )，值域为 ( [0, 2] )
(1) 证明：连接 ( AC ) 交 ( BD ) 于 ( O )，连接 ( OE )，易证 ( OE \parallel PA )，从而得证。 (2) ( V{E-BCD} = \frac{1}{3} S{\triangle BCD} \cdot h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 1 = \frac{2}{3} )。（( h = \frac{1}{2}PD = 1 )）
(1) 由正弦定理及条件得 ( \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\sqrt{3}\sin C}{3\sin C} )，即 ( \cot A + \cot B = \frac{2\sqrt{3}}{3} )，又 ( \cot A \cot B - 1 = \cot(A+B)\cot C = -\cot^2 C )，联立解得 ( \cot C = \sqrt{3} ) 或 ( -\frac{\sqrt{3}}{3} )（舍），故 ( C = \frac{\pi}{6} )。 (2) 由正弦定理 ( a+b = 4\sqrt{3}(\sin A + \sin B) = ... \in (4\sqrt{3}, 6\sqrt{3}] )。
(1) 设 ( z = x+yi )，由 ( |z - (1+i)| = |z - (3-4i)| ) 得 ( (x-1)^2+(y-1)^2 = (x-3)^2+(y+4)^2 )，化简得 ( 4x - 10y - 23 = 0 )。 (2) 设 ( z = \cos \theta + i\sin \theta )，则表达式 ( = 2|z|^2 + |z_1|^2+|z_2|^2 - 2Re(z(\bar{z_1}+\bar{z_2})) = 31 - 2Re(z(4-3i)) )，最大值为 ( 31+2\times5=41 )，最小值为 ( 31-2\times5=21 )。
(1) 由 ( PO \perp ) 面 ( ABC )，( AC \perp BC )，得 ( AC \perp ) 面 ( PBC )，故 ( AC \perp BD )，又 ( \triangle PBC ) 中，( PB=BC=\sqrt{2} )，( D ) 为 ( PC ) 中点，故 ( BD \perp PC )，从而得证。 (2) ( V{P-ABC} = \frac{1}{3} PO \cdot S{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{1}{2} \times 2 \times \sin \angle ACB \times 1 = \frac{1}{3} \sin \angle ACB \le \frac{1}{3} )，当 ( \angle ACB = 90^\circ ) 时取最大值 ( \frac{1}{3} )。