2025年高一数学必修一综合测试卷

选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x \ge 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( { x \mid 0 \le x < 3 } )
   B. ( { x \mid x > -2 } )
   C. ( { x \mid x \ge 0 } )
   D. ( { x \mid -2 < x \le 0 } )

2. 命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 )”的否定是（ ）
   A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0 )
   B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0 )
   C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0 )
   D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0 )

3. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ）
   A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) )
   B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) )
   C. ( [2, +\infty) )
   D. ( (2, +\infty) )

4. 已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
   B. ( a^2 < b^2 )
   C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
   D. ( |a| < |b| )

5. 函数 ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) 的单调递减区间是（ ）
   A. ( (-\infty, 2] )
   B. ( [2, +\infty) )
   C. ( (-\infty, 3] )
   D. ( [3, +\infty) )

6. 已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = )（ ）
   A. 1
   B. -1
   C. 3
   D. -3

7. 若 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x} ) 的最小值为（ ）
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5

8. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ）
   A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. 3

填空题（每题5分，共20分）

9. 设集合 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，( A = {1, 3, 5} )，则 ( \complement_U A = )__。

10. 已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，且 ( a + 2b = 4 )，则 ( ab ) 的最大值为__。

11. 函数 ( f(x) = \frac{1}{x-1} ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上是__函数（填“增”或“减”）。

12. 若不等式 ( x^2 + ax + b < 0 ) 的解集为 ( (-2, 3) )，则 ( a + b = )__。

解答题（共40分）

13. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid -3 \le x \le 4 } )，( B = { x \mid 2 < x \le 6 } )。
    （1）求 ( A \cup B )；
    （2）求 ( \complement_U (A \cap B) )。

14. （15分）已知函数 ( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} )。
    （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性；
    （2）用定义证明：( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上是减函数。

15. （15分）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本 100 万元，每生产 ( x )（百件）产品，需另投入成本 ( C(x) )（万元），( C(x) = x^2 + 10x )，若每百件产品售价为 50 万元，且当年生产的产品全部售完。
    （1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（百件）的函数解析式；
    （2）当年产量为多少百件时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

2025年高一数学必修一综合测试卷（带答案）

选择题

1. A
2. B
3. A
4. C
5. A
6. B
7. C
8. D

填空题

9. ( {2, 4} )
10. 2
11. 减
12. 1

解答题

13. （1）( A \cup B = { x \mid -3 \le x \le 6 } )
    （2）( A \cap B = { x \mid 2 < x \le 4 } )，
    ( \complement_U (A \cap B) = { x \mid x \le 2 \ \text{或} \ x > 4 } )

14. （1）( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，
    ( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x) )，
    ( f(x) ) 是奇函数。
    （2）任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )，
    ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2 + 1} - \frac{x_2}{x_2^2 + 1} = \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1 x_2)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)} )，
    由 ( x_1 \ge 1, x_2 \ge 1, x_1 < x_2 ) 得 ( x_1 - x_2 < 0, 1 - x_1 x_2 < 0 )，
    ( f(x_1) - f(x_2) > 0 )，即 ( f(x_1) > f(x_2) )，
    故 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上是减函数。

15. （1）收入函数为 ( R(x) = 50x )，
    利润函数 ( L(x) = R(x) - C(x) - 100 = 50x - (x^2 + 10x) - 100 = -x^2 + 40x - 100 )，
    即 ( L(x) = -x^2 + 40x - 100 \ (x > 0) )。
    （2）( L(x) = -(x^2 - 40x + 400) + 300 = -(x - 20)^2 + 300 )，
    当 ( x = 20 )（百件）时，( L(x)_{\text{max}} = 300 )（万元）。
    答：当年产量为 20 百件时，利润最大，最大利润为 300 万元。