（本卷满分150分，考试时间120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
算法有三种基本逻辑结构,它们是（ ） A. 顺序结构，条件结构，循环结构 B. 顺序结构，流程结构，循环结构 C. 顺序结构，分支结构，流程结构 D. 流程结构，条件结构，循环结构
下列赋值语句正确的是（ ） A. ( A = B = 2 ) B. ( x + y = 2 ) C. ( \sqrt{B} = A ) D. ( N = N * 2 )
某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，已知从高一年级中抽取了20人，则从高三年级中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
一个容量为20的样本数据,分组后的频数如下表： 分组 | [10, 20) | [20, 30) | [30, 40) | [40, 50) | [50, 60) | [60, 70] --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- 频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 则样本数据落在区间 [10, 40) 的频率为（ ） A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65
执行如图所示的程序框图,若输入 ( x = 2 )，则输出的 ( y ) 值为（ ） （框图描述：开始 → 输入x → x>0? 是 → y = x^2 → 输出y → 结束；否 → y = 2x → 输出y → 结束） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
已知变量 ( x ) 与 ( y ) 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ( \bar{x} = 3 )， ( \bar{y} = 3.5 )，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. ( \hat{y} = 0.4x + 2.3 ) B. ( \hat{y} = 2x - 2.4 ) C. ( \hat{y} = -2x + 9.5 ) D. ( \hat{y} = -0.3x + 4.4 )
从1,2，3，4，5中任取两个不同的数，其和为5的概率是（ ） A. ( \frac{1}{5} ) B. ( \frac{2}{5} ) C. ( \frac{3}{10} ) D. ( \frac{1}{4} )
在区间 ([-1, 2]) 上随机取一个数 ( x )，则 ( |x| \le 1 ) 的概率为（ ） A. ( \frac{1}{3} ) B. ( \frac{1}{2} ) C. ( \frac{2}{3} ) D. ( \frac{3}{4} )
阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的结果是（ ） （框图描述：开始 → S=0，n=2 → n<8? 是 → S = S + 1/n → n = n + 2 → 返回判断；否 → 输出S → 结束） A. ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} ) B. ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) C. ( \frac{1}{2} ) D. 1
甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ( \frac{1}{2} )，乙获胜的概率为 ( \frac{1}{3} )，则甲获胜的概率是（ ） A. ( \frac{1}{6} ) B. ( \frac{1}{3} ) C. ( \frac{1}{2} ) D. ( \frac{2}{3} )
在面积为 ( S ) 的 ( \triangle ABC ) 的边 ( AB ) 上任取一点 ( P )，则 ( \triangle PBC ) 的面积大于 ( \frac{S}{4} ) 的概率是（ ） A. ( \frac{1}{4} ) B. ( \frac{1}{2} ) C. ( \frac{3}{4} ) D. ( \frac{2}{3} )
一组数据的方差为 ( s^2 )，将这组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则所得新数据的方差为（ ） A. ( \frac{1}{2}s^2 ) B. ( s^2 ) C. ( 2s^2 ) D. ( 4s^2 )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
将二进制数 ( 1011_{(2)} ) 化为十进制数为__。
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛，则至多有1名女生的概率为__。
已知一组数据 ( x_1, x_2, ..., x_n ) 的方差为4，则数据 ( 2x_1 + 3, 2x_2 + 3, ..., 2x_n + 3 ) 的标准差为__。
执行如图所示的程序框图,若输入的 ( a ) 值为1，则输出的 ( k ) 值为__。 （框图描述：开始 → 输入a → k=0，b=1 → b = b * a， a = a - 1 → k = k + 1 → a > 0? 是 → 返回计算b；否 → 输出k → 结束）
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）用辗转相除法求294和84的最大公约数，并用更相减损术进行验证。
（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球，则中一等奖；若摸出的2个球颜色不同，则中二等奖；若摸出的2个球都是白球，则不中奖。 （1）求顾客中一等奖的概率； （2）求顾客中奖的概率。
（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分。
（12分）为了解某地高中生身高情况，随机抽取了该地100名高中生，得到他们的身高数据（单位：cm），并绘制成频率分布直方图（已知图中从左到右前三个小长方形的高度比为1：2：3）。 （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该地高中生身高的中位数。
（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 ( x )（吨）与相应的生产能耗 ( y )（吨标准煤）的几组对照数据： x | 3 | 4 | 5 | 6 --- | --- | --- | --- | --- y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 ( y ) ( x ) 的线性回归方程 ( \hat{y} = \hat{b}x + \hat{a} )； （2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ （参考公式：( \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(yi - \bar{y})}{\sum{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} )， ( \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} )）
（12分）已知关于 ( x ) 的一元二次方程 ( x^2 - 2ax + b^2 = 0 )。 （1）若 ( a ) 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，( b ) 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； （2）若 ( a ) 是从区间 [0, 3] 上任取的一个数，( b ) 是从区间 [0, 2] 上任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
2025年高中数学必修三综合测试卷（参考答案）
选择题
A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. B 8. C 9. A 10. A 11. C 12. D
填空题13. 11 14. ( \frac{9}{10} ) （或0.9） 15. 4 16. 1
解答题17.解： 辗转相除法： ( 294 \div 84 = 3 \cdots 42 ) ( 84 \div 42 = 2 \cdots 0 ) 所以最大公约数为42。 更相减损术： ( 294 - 84 = 210 ) ( 210 - 84 = 126 ) ( 126 - 84 = 42 ) ( 84 - 42 = 42 ) 所以最大公约数为42。
解： （1）设事件A为“顾客中一等奖”，则 ( P(A) = \frac{4}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{20}{100} = 0.2 )。 （2）设事件B为“顾客中奖”，包括一等奖和二等奖。 摸出两球颜色不同的概率为：( \frac{4}{10} \times \frac{5}{10} + \frac{6}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{20}{100} + \frac{30}{100} = 0.5 )。 ( P(B) = 0.2 + 0.5 = 0.7 )。
解： （1）各小组频率之和为1，故第四小组频率为 ( 1 - (0.01+0.015+0.015+0.025+0.005) \times 10 = 0.3 )。 直方图略（第四小组矩形高度对应频率/组距=0.03）。 （2）及格率：( (0.015+0.03+0.025+0.005) \times 10 = 0.75 = 75\% )。 平均分：( 45 \times 0.1 + 55 \times 0.15 + 65 \times 0.15 + 75 \times 0.3 + 85 \times 0.25 + 95 \times 0.05 = 71 )。
解： （1）设前三个小长方形的频率分别为 ( k, 2k, 3k )，则后两个小长方形的频率均为 ( 2k )。 由频率之和为1，得 ( k + 2k + 3k + 2k + 2k = 10k = 1 )，( k = 0.1 )。 故 ( a = 0.1 / 组距 )。（需根据具体组距计算，若组距为5，则a=0.02；此处假设组距合理，a值由比例确定） （2）中位数在第三组，设中位数为x，则 ( 0.1 + 0.2 + 0.03 \times (x - 中位数所在组下限) = 0.5 )，解得 ( x = )（具体数值取决于分组数据）。
解： （1）计算得：( \bar{x} = 4.5 )， ( \bar{y} = 3.5 )。 ( \sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})(yi - \bar{y}) = 5 )， ( \sum{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2 = 5 )。 ( \hat{b} = 1 )， ( \hat{a} = 3.5 - 1 \times 4.5 = -1 )。 线性回归方程为：( \hat{y} = x - 1 )。 （2）当 ( x = 100 ) 时， ( \hat{y} = 100 - 1 = 99 )（吨标准煤）。 比技改前降低：( 90 - 99 = -9 )（吨），即预测能耗比技改前升高了9吨。（或答：根据模型预测，生产100吨产品能耗为99吨，比技改前的90吨多消耗9吨）
解： （1）方程有实根的条件是 ( \Delta = 4a^2 - 4b^2 \ge 0 )，即 ( a \ge b )。 基本事件总数：( 4 \times 3 = 12 )种。 满足 ( a \ge b ) 的事件有：( (a, b) ) 为 (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2) 共9种。 概率 ( P = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} )。 （2）试验的全部结果所构成的区域为 ( { (a, b) | 0 \le a \le 3, 0 \le b \le 2 } )，面积 ( S_{\Omega} = 3 \times 2 = 6 )。 方程有实根的条件是 ( a \ge b )，构成的区域为 ( { (a, b) | 0 \le a \le 3, 0 \le b \le 2, 且 a \ge b } )，其面积为 ( 6 - \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 4 )。 概率 ( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} )。
试卷说明：本试卷紧扣高中数学必修三（通常包括算法初步、统计、概率）的核心知识点，旨在考查学生对基础概念、基本方法和实际应用的理解与掌握。