（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
在空间直角坐标系中,点 (P(1, -2, 3)) (xOy) 平面的对称点坐标是（ ） A. ((1, -2, -3)) B. ((-1, -2, 3)) C. ((1, 2, 3)) D. ((-1, 2, -3))
已知直线 (l) 的倾斜角为 (120^\circ)，则其斜率 (k) 为（ ） A. (\sqrt{3}) B. (-\sqrt{3}) C. (\frac{\sqrt{3}}{3}) D. (-\frac{\sqrt{3}}{3})
圆心为 (C(3, -1))，半径为 (2) 的圆的标准方程是（ ） A. ((x-3)^2 + (y+1)^2 = 4) B. ((x+3)^2 + (y-1)^2 = 4) C. ((x-3)^2 + (y+1)^2 = 2) D. ((x+3)^2 + (y-1)^2 = 2)
已知直线 (l_1: y = 2x + 1) 与直线 (l_2: y = kx - 3) 平行，则实数 (k) 的值为（ ） A. (2) B. (-2) C. (\frac{1}{2}) D. (-\frac{1}{2})
若方程 (x^2 + y^2 - 2x + 4y + m = 0) 表示一个圆，则实数 (m) 的取值范围是（ ） A. (m < 5) B. (m > 5) C. (m \leq 5) D. (m \geq 5)
已知 (A(2, 0), B(0, 2))，则以线段 (AB) 为直径的圆的方程是（ ） A. ((x-1)^2 + (y-1)^2 = 2) B. ((x-1)^2 + (y-1)^2 = 4) C. ((x+1)^2 + (y+1)^2 = 2) D. ((x+1)^2 + (y+1)^2 = 4)
在空间几何体中,下列结论正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 B. 棱台的侧棱延长后必相交于一点。 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥。 D. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
已知圆 (C: x^2 + y^2 = 4) 与直线 (l: x - y + m = 0) 相切，则实数 (m) 的值为（ ） A. (\pm 2\sqrt{2}) B. (\pm 2) C. (2) D. (-2)
已知一个圆锥的母线长为 (5)，底面半径为 (3)，则该圆锥的侧面积为（ ） A. (15\pi) B. (20\pi) C. (24\pi) D. (30\pi)
已知圆 (C_1: (x-1)^2 + y^2 = 1) 与圆 (C_2: x^2 + (y-2)^2 = 4)，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
已知正四棱锥的底面边长为 (4)，侧棱长为 (2\sqrt{3})，则该正四棱锥的高为（ ） A. (\sqrt{2}) B. (2) C. (2\sqrt{2}) D. (4)
已知点 (P(x, y)) 在圆 (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0) 上，则 (\frac{y}{x}) 的最大值为（ ） A. (0) B. (\frac{3}{4}) C. (\frac{4}{3}) D. 不存在
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知点 (A(1, 2)) 和点 (B(4, -2))，则线段 (AB) 的垂直平分线的方程为__。
一个球的表面积是 (36\pi)，则它的体积是__。
已知直线 (l) 经过点 (P(2, 3))，且在 (x) 轴、(y) 轴上的截距相等，则直线 (l) 的方程为__。
已知圆 (C) 的圆心在直线 (y = 2x) 上，且与 (x) 轴相切于点 (A(1, 0))，则圆 (C) 的标准方程为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知 (\triangle ABC) 的三个顶点分别为 (A(1, 2), B(3, 4), C(5, 0))。 （1）求边 (AB) 所在直线的方程。 （2）求边 (AB) 上的高所在直线的方程。
（12分）如图，在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，棱长为 (a)。 （1）求证：直线 (BD \perp) 平面 (ACC_1A_1)。 （2）求三棱锥 (B_1-ABC) 的体积。
（12分）已知圆 (M) 经过点 (A(2, -2), B(0, -4), C(4, 0))。 （1）求圆 (M) 的标准方程。 （2）判断点 (P(1, -1)) 与圆 (M) 的位置关系。
（12分）已知圆 (C: x^2 + y^2 = 4) 和直线 (l: y = x + b)。 （1）若直线 (l) 与圆 (C) 相交，求实数 (b) 的取值范围。 （2）若直线 (l) 被圆 (C) 截得的弦长为 (2\sqrt{2})，求实数 (b) 的值。
（12分）如图，已知四棱锥 (P-ABCD) 的底面是边长为 (2) 的正方形，侧棱 (PA \perp) 底面 (ABCD)，且 (PA = 2)。 （1）求四棱锥 (P-ABCD) 的表面积。 （2）求四棱锥 (P-ABCD) 的体积。 （3）求点 (C) 到平面 (PBD) 的距离。
（12分）在平面直角坐标系 (xOy) 中，已知圆 (O: x^2 + y^2 = 4) 和定点 (A(1, 0))，点 (B) 是圆 (O) 上一动点，线段 (AB) 的垂直平分线交直线 (OB) 于点 (P)。 （1）求点 (P) 的轨迹方程。 （2）过点 (A) 作倾斜角为 (\frac{\pi}{4}) 的直线与点 (P) 的轨迹相交于 (M, N) 两点，求线段 (MN) 的长度。
2025年高中数学必修二（B版）综合测试卷（参考答案）
选择题
- A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A
- B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. C
填空题13. (2x - 3y + 1 = 0) 14. (36\pi) 15. (x + y - 5 = 0) 或 (y = \frac{3}{2}x) (即 (3x - 2y = 0)) 16. ((x-1)^2 + (y-2)^2 = 4)
解答题17. (1) 解：(k{AB} = \frac{4-2}{3-1} = 1)，由点斜式得 (y - 2 = 1 \cdot (x - 1))，即 (x - y + 1 = 0)。 (2) 解：边 (AB) 上的高过点 (C) 且与 (AB) 垂直。(k{AB}=1)，故高的斜率 (k = -1)，由点斜式得 (y - 0 = -1 \cdot (x - 5))，即 (x + y - 5 = 0)。
(1) 证明：在正方体中，(BD \perp AC)，(BD \perp AA_1)，又 (AC \cap AA_1 = A)，故 (BD \perp) 平面 (ACC_1A_1)。 (2) 解：三棱锥 (B1-ABC) 的体积 (V = \frac{1}{3} \times S{\triangle ABC} \times h)。(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2})，高 (h = BB_1 = a)，故 (V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6})。
(1) 解：设圆的一般方程为 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)，将三点坐标代入： (\begin{cases} 4+4+2D-2E+F=0 \ 0+16+0-4E+F=0 \ 16+0+4D+0+F=0 \end{cases}) 解得 (D=-2, E=4, F=-8)。 故圆方程为 (x^2 + y^2 - 2x + 4y - 8 = 0)，标准方程为 ((x-1)^2 + (y+2)^2 = 13)。 (2) 解：点 (P(1, -1)) 到圆心 (M(1, -2)) 的距离 (d = \sqrt{(1-1)^2 + (-1+2)^2} = 1)。 圆半径 (r = \sqrt{13})，(d < r)，故点 (P) 在圆内。
(1) 解：圆心 ((0,0)) 到直线 (l: x - y + b = 0) 的距离 (d = \frac{|b|}{\sqrt{2}})，相交需 (d < r = 2)，即 (\frac{|b|}{\sqrt{2}} < 2)，解得 (-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2})。 (2) 解：弦长 (L = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2})，即 (\sqrt{4 - d^2} = \sqrt{2})，解得 (d^2 = 2)，又 (d^2 = \frac{b^2}{2})，故 (\frac{b^2}{2} = 2)，解得 (b = \pm 2)。
(1) 解：表面积 (S = S{底} + S{侧})。(S{底} = 2 \times 2 = 4)。 侧面积：四个侧面均为直角三角形。(S{\triangle PAB} = S{\triangle PAD} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2)。 (PB = PD = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2})，(S{\triangle PBC} = S{\triangle PCD} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2})。 故 (S{侧} = 2 \times 2 + 2 \times 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2})，总表面积 (S = 4 + 4 + 4\sqrt{2} = 8 + 4\sqrt{2})。 (2) 解：体积 (V = \frac{1}{3} \times S{底} \times h = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3})。 (3) 解：利用等体积法 (V{C-PBD} = V{P-BCD})。(V{P-BCD} = \frac{1}{3} \times S{\triangle BCD} \times PA = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 2) \times 2 = \frac{4}{3})。 在 (\triangle PBD) 中，(PB = PD = 2\sqrt{2}, BD = 2\sqrt{2})，故 (\triangle PBD) 是边长为 (2\sqrt{2}) 的等边三角形，面积 (S{\triangle PBD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{3})。 设点 (C) 到平面 (PBD) 的距离为 (h)，则 (\frac{1}{3} \times S_{\triangle PBD} \times h = \frac{4}{3})，即 (\frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times h = \frac{4}{3})，解得 (h = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3})。
(1) 解：连接 (PA)，由垂直平分线性质知 (|PA| = |PB|)，又 (P) 在直线 (OB) 上，故 (|PO| + |PB| = |PO| + |PA| = |OB| = 2)（定值，大于 (|OA| = 1)）。 根据椭圆定义，点 (P) 的轨迹是以 (O, A) 为焦点，长轴长为 (2) 的椭圆（去掉左顶点，因为 (P) 在直线 (OB) 上，(B) 是动点，但 (P) 不与 (O, A) 共线时均成立，经分析轨迹为整个椭圆）。 设椭圆方程为 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)。(2a = 2)，得 (a=1)，焦距 (2c = |OA| = 1)，得 (c=\frac{1}{2})，(b^2 = a^2 - c^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4})。 故点 (P) 的轨迹方程为 (\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{3/4} = 1)，即 (x^2 + \frac{4y^2}{3} = 1)。 (2) 解：过点 (A(1,0)) 且倾斜角为 (\frac{\pi}{4}) 的直线方程为 (y = x - 1)。 联立方程：(\begin{cases} y = x - 1 \ x^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1 \end{cases})，代入得 (x^2 + \frac{4}{3}(x-1)^2 = 1)，化简得 (7x^2 - 8x + 1 = 0)。 设 (M(x_1, y_1), N(x_2, y_2))，则 (x_1 + x_2 = \frac{8}{7}, x_1 x_2 = \frac{1}{7})。 弦长 (|MN| = \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{1+1} \cdot \sqrt{(\frac{8}{7})^2 - 4 \times \frac{1}{7}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{64}{49} - \frac{4}{7}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{64-28}{49}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{36}{49}} = \sqrt{2} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6\sqrt{2}}{7})。
试卷说明：本试卷严格依据高中数学必修二（B版）主要知识点命题，涵盖立体几何初步（空间几何体、点线面位置关系）和平面解析几何初步（直线与方程、圆与方程、圆锥曲线初步），题目难度梯度设计，旨在全面考查学生的理解、计算和综合应用能力。