高一数学第一单元测试卷（2025）

120分钟 满分：150分

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 5x + 6 = 0 } )，( B = { 2, 3, 4 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ({ 2 })
   B. ({ 3 })
   C. ({ 2, 3 })
   D. ({ 2, 3, 4 })

2. 设全集 ( U = { 1, 2, 3, 4, 5 } )，集合 ( A = { 1, 3 } )，则 ( \complement_U A = )（ ）
   A. ({ 2, 4, 5 })
   B. ({ 1, 3 })
   C. ({ 1, 2, 3, 4, 5 })
   D. (\emptyset)

3. 命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 )”的否定是（ ）
   A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 )
   D. ( \forall x \notin \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )

4. 已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，则“( a > b )”是“( a^2 > b^2 )”的（ ）
   A. 充分不必要条件
   B. 必要不充分条件
   C. 充要条件
   D. 既不充分也不必要条件

5. 不等式 ( x^2 - 4x + 3 < 0 ) 的解集为（ ）
   A. ( (1, 3) )
   B. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) )
   C. ( [1, 3] )
   D. ( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) )

6. 已知函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} )，则其定义域为（ ）
   A. ([2, 3) \cup (3, +\infty))
   B. ((2, 3) \cup (3, +\infty))
   C. ([2, +\infty))
   D. ((2, +\infty))

7. 若 ( a < b < 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} )
   B. ( ab < b^2 )
   C. ( |a| < |b| )
   D. ( a^2 > b^2 )

8. 已知集合 ( M = { x \mid x \leq 1 } )，( N = { x \mid x > a } )，若 ( M \cap N \neq \emptyset )，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ）
   A. ( a < 1 )
   B. ( a \leq 1 )
   C. ( a > 1 )
   D. ( a \geq 1 )

9. 设 ( x \in \mathbb{R} )，则“( |x-2| < 1 )”是“( x^2 - 4x + 3 < 0 )”的（ ）
   A. 充分不必要条件
   B. 必要不充分条件
   C. 充要条件
   D. 既不充分也不必要条件

10. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x + 3, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ）
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

11. 若正数 ( x, y ) 满足 ( x + 2y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) 的最小值为（ ）
    A. ( 3 + 2\sqrt{2} )
    B. ( 4 + 2\sqrt{2} )
    C. ( 3 + \sqrt{2} )
    D. ( 4 + \sqrt{2} )

12. 已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的解集为 ( { x \mid -2 < x < 3 } )，则不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为（ ）
    A. ( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty) )
    B. ( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}) )
    C. ( (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) )
    D. ( (-3, 2) )

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合 ( A = { 1, a, b } )，( B = { a, a^2, ab } )，且 ( A = B )，则 ( a^{2025} + b^{2025} = )__。

14. 若 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x} ) 的最小值为__。

15. 已知命题 ( p: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2ax + 1 \leq 0 ) 为真命题，则实数 ( a ) 的取值范围是__。

16. 设函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \geq 0 \ x + 6, & x < 0 \end{cases} )，若 ( f(a) = 3 )，则实数 ( a = )__。

解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )。
    （1）求 ( A \cup B )，( \complement_U A )；
    （2）求 ( ( \complement_U A ) \cap B )。

18. （12分）解下列不等式：
    （1）( \frac{x-1}{x+2} \leq 0 )；
    （2）( |2x-1| > 3 )。

19. （12分）已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 - 3x + 2 > 0 ) 的解集为 ( { x \mid x < 1 \text{ 或 } x > b } )。
    （1）求 ( a, b ) 的值；
    （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 - (a+b)x + b < 0 )。

20. （12分）已知函数 ( f(x) = \sqrt{4-x} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} )。
    （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域；
    （2）判断函数 ( f(x) ) 在定义域上的单调性，并证明。

21. （12分）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，每生产 ( x ) 千件，需另投入成本 ( C(x) ) 万元，已知 ( C(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 20x, & 0 < x \leq 40 \ 401x + \frac{6400}{x} - 5600, & x > 40 \end{cases} )，若每千件售价为50万元，且全年内生产的产品能全部售完。
    （1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（千件）的函数解析式；
    （2）年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？

22. （12分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c )（( a, b, c \in \mathbb{R} )）满足：( f(0) = 1 )，且对任意实数 ( x )，都有 ( f(x) - x \geq 0 ) 成立，( f(x) - x = 0 ) 有两个相等的实数根。
    （1）求 ( f(x) ) 的解析式；
    （2）若函数 ( g(x) = f(x) - mx ) 在区间 ( [2, 4] ) 上是单调函数，求实数 ( m ) 的取值范围。

参考答案见下页

高一数学第一单元测试卷（2025）参考答案

选择题

1. C
2. A
3. B
4. D
5. A
6. A
7. D
8. A
9. A
10. C
11. A
12. B

填空题

13. ( 2 ) 或 ( -1 )
14. ( 4 )
15. ( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) )
16. ( 1 ) 或 ( 3 ) 或 ( -3 )

解答题

17. （1）( A \cup B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )
    ( \complement_U A = { x \mid x < 3 \text{ 或 } x \geq 7 } )
    （2）( ( \complement_U A ) \cap B = { x \mid 2 < x < 3 \text{ 或 } 7 \leq x \leq 10 } )

18. （1）( (-2, 1] )
    （2）( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) )

19. （1）由题意，( 1 ) 和 ( b ) 是方程 ( ax^2 - 3x + 2 = 0 ) 的两根，且 ( a > 0 )。
    由韦达定理：( 1 + b = \frac{3}{a} )，( 1 \times b = \frac{2}{a} )。
    解得 ( a = 1 )，( b = 2 )。
    （2）不等式为 ( x^2 - 3x + 2 < 0 )，解集为 ( (1, 2) )。

20. （1）由 ( \begin{cases} 4-x \geq 0 \ x+1 > 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x \leq 4 )，定义域为 ( (-1, 4] )。
    （2）函数 ( f(x) ) 在 ( (-1, 4] ) 上单调递减。
    证明：任取 ( x_1, x_2 \in (-1, 4] ) 且 ( x_1 < x_2 )，
    通过作差或利用导数可证 ( f(x_1) > f(x_2) )。

21. （1）( L(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 30x - 200, & 0 < x \leq 40 \ -\left( 401x + \frac{6400}{x} \right) + 50x + 200, & x > 40 \end{cases} )
    化简得：( L(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 30x - 200, & 0 < x \leq 40 \ 5800 - \left( 351x + \frac{6400}{x} \right), & x > 40 \end{cases} )
    （2）当 ( 0 < x \leq 40 ) 时，( L(x)_{\text{max}} = L(30) = 250 )（万元）；
    当 ( x > 40 ) 时，( L(x) = 5800 - \left( 351x + \frac{6400}{x} \right) \leq 5800 - 2\sqrt{351 \times 6400} \approx 5800 - 2 \times 1497.33 = 805.34 )，
    当且仅当 ( 351x = \frac{6400}{x} ) 即 ( x \approx 13.5 )（不在 ( x > 40 ) 范围内）时取等，故在 ( x > 40 ) 时 ( L(x) ) 单调递减，最大值为 ( L(40) = 200 )。
    综上，年产量为30千件时，最大利润为250万元。

22. （1）由 ( f(0) = 1 ) 得 ( c = 1 )。
    设 ( h(x) = f(x) - x = ax^2 + (b-1)x + 1 )，
    由题意 ( h(x) \geq 0 ) 恒成立且 ( h(x) = 0 ) 有两相等实根，
    故 ( a > 0 ) 且 ( \Delta = (b-1)^2 - 4a = 0 )。
    又因为相等实根，设根为 ( x_0 )，则 ( h(x) = a(x - x_0)^2 )，
    比较系数得：( a x_0^2 = 1 )，( -2a x_0 = b-1 )，
    解得 ( a = 1 )，( b = -1 )，( x_0 = 1 )。
    ( f(x) = x^2 - x + 1 )。
    （2）( g(x) = x^2 - (1+m)x + 1 )，对称轴为 ( x = \frac{1+m}{2} )。
    若在 ( [2, 4] ) 上单调，则对称轴不在区间内，
    即 ( \frac{1+m}{2} \leq 2 ) 或 ( \frac{1+m}{2} \geq 4 )，
    解得 ( m \leq 3 ) 或 ( m \geq 7 )。