高中数学必修一网课综合测试卷（2025）

120分钟 满分：150分

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合 ( A = { x | x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { 1, 2, 3 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ({1})
   B. ({2})
   C. ({1, 2})
   D. ({1, 2, 3})

2. 函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 1} ) 的定义域为（ ）
   A. ( (-\infty, 4] )
   B. ( (-\infty, 1) \cup (1, 4] )
   C. ( (1, 4] )
   D. ( (-\infty, 4] \setminus {1} )

3. 已知函数 ( f(x) = 2x - 3 )，则 ( f(f(2)) = )（ ）
   A. 1
   B. -1
   C. 5
   D. -5

4. 若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
   B. ( a^2 < b^2 )
   C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
   D. ( |a| < |b| )

5. 已知函数 ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) 在区间 ([0, m]) 上有最小值 -1，则 ( m ) 的取值范围是（ ）
   A. ([2, 4])
   B. ([2, +\infty))
   C. ([0, 4])
   D. ([2, 3])

6. 若 ( \log_2 a + \log_2 b = 4 )，则 ( a + b ) 的最小值为（ ）
   A. 4
   B. 8
   C. 16
   D. 32

7. 函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} ) 的奇偶性是（ ）
   A. 奇函数
   B. 偶函数
   C. 非奇非偶函数
   D. 既是奇函数又是偶函数

8. 已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )（ ）
   A. ( x^2 + 2x )
   B. ( -x^2 - 2x )
   C. ( x^2 - 2x )
   D. ( -x^2 + 2x )

9. 方程 ( 2^x + x = 4 ) 的根所在区间为（ ）
   A. ( (0, 1) )
   B. ( (1, 2) )
   C. ( (2, 3) )
   D. ( (3, 4) )

10. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(x) ) 的值域为（ ）
    A. ( [1, +\infty) )
    B. ( [2, +\infty) )
    C. ( [1, 2] \cup (2, +\infty) )
    D. ( [1, +\infty) \setminus {2} )

11. 若函数 ( f(x) = \log_a (x^2 - ax + 3) ) 在区间 ( (2, +\infty) ) 上单调递增，则 ( a ) 的取值范围是（ ）
    A. ( (0, 1) )
    B. ( (1, 4] )
    C. ( (0, 1) \cup (1, 4] )
    D. ( [4, +\infty) )

12. 设 ( a = \log_3 2 )，( b = \log_2 3 )，( c = \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ）
    A. ( a < c < b )
    B. ( a < b < c )
    C. ( c < a < b )
    D. ( c < b < a )

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( \complement_U (A \cup B) = )__。

14. 函数 ( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x - 3}} ) 的单调递增区间是__。

15. 若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在区间 ([-1, 1]) 上存在零点，则实数 ( a ) 的取值范围是__。

16. 已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，且在区间 ( (-\infty, 0] ) 上单调递增，若 ( f(2a - 1) < f(3) )，则实数 ( a ) 的取值范围是__。

解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （10分）已知集合 ( A = { x | x^2 - 5x + 6 \leq 0 } )，( B = { x | m + 1 \leq x \leq 2m - 1 } )。
    （1）若 ( m = 3 )，求 ( A \cap B )；
    （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。

18. （12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。
    （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并证明；
    （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。

19. （12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (x + 1) )，( g(x) = \log_a (4 - 2x) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。
    （1）求函数 ( \varphi(x) = f(x) + g(x) ) 的定义域；
    （2）若 ( a = 2 )，求不等式 ( f(x) \geq g(x) ) 的解集。

20. （12分）某网课平台推出高中数学必修一课程，课程定价为每课时 20 元，为吸引学生，平台推出两种优惠方案：
    方案一：购买会员，会员费 100 元，此后每课时按原价 8 折收费；
    方案二：不购买会员，每课时按原价收费，但累计学习超过 20 课时后，超出部分每课时按原价 7 折收费。
    设学生计划学习 ( x ) 课时（( x \in \mathbb{N}^* )），总费用为 ( y ) 元。
    （1）分别写出两种方案下总费用 ( y ) 与课时数 ( x ) 的函数关系式；
    （2）该学生应如何选择优惠方案？请说明理由。

21. （12分）已知函数 ( f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 3 )。
    （1）若 ( f(x) = 11 )，求 ( x ) 的值；
    （2）当 ( x \in [-1, 2] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域；
    （3）若不等式 ( f(x) > a \cdot 2^x ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。

22. （12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意实数 ( x, y )，都有 ( f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy )，且 ( f(1) = 1 )。
    （1）求 ( f(0) )，( f(2) ) 的值；
    （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并证明；
    （3）若 ( x > 0 ) 时，( f(x) > 0 )，解不等式 ( f(x) + f(x - 1) < 6 )。

参考答案见下页

高中数学必修一网课综合测试卷（2025）参考答案

选择题

1. C
2. B
3. A
4. C
5. A
6. B
7. A
8. A
9. B
10. A
11. B
12. A

填空题

13. ({2})
14. ( (-\infty, -1) )
15. ( [-2, 2] )
16. ( (-1, 2) )

解答题

17. （1）( A = [2, 3] )，当 ( m = 3 ) 时，( B = [4, 5] )，( A \cap B = \varnothing )
    （2）当 ( B = \varnothing ) 时，( m + 1 > 2m - 1 )，解得 ( m < 2 )；
    当 ( B \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} m + 1 \leq 2m - 1 \ m + 1 \geq 2 \ 2m - 1 \leq 3 \end{cases} )，解得 ( 2 \leq m \leq 2 )，即 ( m = 2 )；
    综上，( m \leq 2 )。

18. （1）单调递减，证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) ) 且 ( x_1 < x_2 )，
    ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} > 0 )，故 ( f(x_1) > f(x_2) )。
    （2）由（1）知 ( f(x) ) 在 ([2, 5]) 上单调递减，值域为 ([f(5), f(2)] = \left[ \frac{3}{2}, 1 \right])。

19. （1）由 ( \begin{cases} x + 1 > 0 \ 4 - 2x > 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x < 2 )，定义域为 ( (-1, 2) )。
    （2）当 ( a = 2 ) 时，不等式为 ( \log_2 (x + 1) \geq \log_2 (4 - 2x) )，
    结合定义域得 ( \begin{cases} x + 1 \geq 4 - 2x \ -1 < x < 2 \end{cases} )，解得 ( 1 \leq x < 2 )。

20. （1）方案一：( y = 100 + 20 \times 0.8x = 100 + 16x )；
    方案二：( y = \begin{cases} 20x, & 0 < x \leq 20 \ 20 \times 20 + 20 \times 0.7(x - 20) = 14x + 120, & x > 20 \end{cases} )
    （2）令 ( 100 + 16x = 20x )，得 ( x = 25 )；
    令 ( 100 + 16x = 14x + 120 )，得 ( x = 10 )（舍，因 ( x > 20 ) 时比较）；
    当 ( 0 < x \leq 20 ) 时，令 ( 100 + 16x < 20x ) 得 ( x > 25 )（无解），故此时方案二更优；
    当 ( x > 20 ) 时，令 ( 100 + 16x < 14x + 120 ) 得 ( x < 10 )（无解），故此时方案一更优；
    综上，当 ( x \leq 20 ) 时选方案二，当 ( x > 20 ) 时选方案一。

21. （1）令 ( t = 2^x > 0 )，方程化为 ( t^2 - 2t + 3 = 11 )，解得 ( t = 4 ) 或 ( t = -2 )（舍），故 ( 2^x = 4 )，( x = 2 )。
    （2）当 ( x \in [-1, 2] ) 时，( t = 2^x \in \left[ \frac{1}{2}, 4 \right] )，( f(x) = t^2 - 2t + 3 = (t - 1)^2 + 2 )，
    值域为 ([2, 11])。
    （3）不等式化为 ( 4^x - (a + 2) \cdot 2^x + 3 > 0 ) 恒成立，令 ( t = 2^x > 0 )，
    即 ( t^2 - (a + 2)t + 3 > 0 ) 对 ( t > 0 ) 恒成立。
    当 ( \Delta = (a + 2)^2 - 12 < 0 ) 时，即 ( -2 - 2\sqrt{3} < a < -2 + 2\sqrt{3} ) 时成立；
    当 ( \Delta \geq 0 ) 时，需对称轴 ( \frac{a + 2}{2} \leq 0 ) 且 ( f(0) = 3 > 0 )，解得 ( a \leq -2 - 2\sqrt{3} )；
    综上，( a < -2 + 2\sqrt{3} )。

22. （1）令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) = 2f(0) )，故 ( f(0) = 0 )；
    令 ( x = y = 1 )，得 ( f(2) = 2f(1) + 2 = 4 )。
    （2）令 ( y = -x )，得 ( f(0) = f(x) + f(-x) - 2x^2 )，即 ( f(-x) = 2x^2 - f(x) )，
    非奇非偶函数。
    （3）由已知可得 ( f(x) = x^2 )（可通过归纳法证明），
    不等式化为 ( x^2 + (x - 1)^2 < 6 )，即 ( 2x^2 - 2x - 5 < 0 )，
    解得 ( \frac{1 - \sqrt{11}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{11}}{2} )。

试卷说明：本试卷结合高中数学必修一（人教版）核心知识点，重点考查集合、函数性质、基本初等函数、函数应用等内容，符合网课学习特点，注重基础与能力的结合。