选择题（每题5分，共30分）
下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程 $x^2 - 1 = 0$ 的实数解 D. 跑得很快的人
已知集合 $A = { x \in \mathbb{N} \,|\, x < 4 }$，则下列关系正确的是（ ） A. $0 \subseteq A$ B. ${1, 2} \in A$ C. $3 \in A$ D. $4 \in A$
集合 ${x \in \mathbb{Z} \,|\, -2 \le x < 3}$ 用列举法可表示为（ ） A. ${-2, -1, 0, 1, 2}$ B. ${-2, -1, 0, 1, 2, 3}$ C. ${-1, 0, 1, 2}$ D. ${-1, 0, 1, 2, 3}$
已知集合 $A = {1, 2, a}$，$B = {1, a^2}$，若 $B \subseteq A$，则实数 $a$ 的值为（ ） A. $0$ B. $2$ C. $0$ 或 $2$ D. $0$ 或 $-1$
设集合 $M = {x | x = 2k, k \in \mathbb{Z}}$，$N = {x | x = 2k+1, k \in \mathbb{Z}}$，则 $\mathbb{Z}$ 与 $M, N$ 的关系是（ ） A. $\mathbb{Z} = M \cup N$ B. $\mathbb{Z} = M \cap N$ C. $\mathbb{Z} \subseteq M \cup N$ D. $M \subseteq \mathbb{Z}$ 且 $N \subseteq \mathbb{Z}$
已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$，集合 $A = {1, 3, 5}$，则 $\complement_U A$ 为（ ） A. ${2, 4}$ B. ${1, 3, 5}$ C. ${1, 2, 3, 4, 5}$ D. $\emptyset$
填空题（每题5分，共20分）
用符号“$\in$”或“$\notin$”填空：$0$$\mathbb{N}^*$；$0$ $\mathbb{N}$。
方程组 $\begin{cases} x + y = 2 \ x - y = 0 \end{cases}$ 的解集用列举法表示为__。
满足条件 ${1, 2} \subseteq A \subsetneq {1, 2, 3, 4}$ 的集合 $A$ 的个数是__。
已知集合 $A = {x | ax^2 + 2x + 1 = 0, a \in \mathbb{R}}$ 有且仅有一个元素，则 $a$ 的值为__。
解答题（共50分）
（12分）已知集合 $A = {x | -2 \le x \le 5}$，$B = {x | m+1 \le x \le 2m-1}$。 (1) 若 $B \subseteq A$，求实数 $m$ 的取值范围； (2) 若 $A \subseteq B$，求实数 $m$ 的取值范围。
（12分）设全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = {x | -3 < x \le 2}$，$B = {x | -1 \le x < 3}$。 求：(1) $A \cup B$； (2) $A \cap B$； (3) $\complement_U A$； (4) $(\complement_U A) \cap B$。
（13分）已知集合 $A = {x | x^2 - 3x + 2 = 0}$，$B = {x | x^2 - ax + (a-1) = 0}$，$C = {x | x^2 - mx + 2 = 0}$，且 $A \cup B = A$，$A \cap C = C$，求实数 $a$ 与 $m$ 的值或取值范围。
（13分）已知集合 $A = {x | x^2 + 4x = 0}$，$B = {x | x^2 + 2(a+1)x + a^2 - 1 = 0}$。 (1) 若 $A \cap B = B$，求实数 $a$ 的取值范围； (2) 若 $A \cup B = B$，求实数 $a$ 的值。
2025年高一数学《集合的概念》单元测试卷答案
选择题
- C （A是确定对象，可构成集合；B“小”标准模糊；C解为±1，确定；D“很快”标准模糊）
- C （$A={0,1,2,3}$，故$3 \in A$）
- A （注意 $x \in \mathbb{Z}$ 且 $-2 \le x < 3$）
- A （由 $B \subseteq A$ 且 $a^2 \in A$，得 $a^2=2$ 或 $a^2=a$，检验元素互异性：若 $a^2=2$，则 $a=\pm\sqrt{2}$，$A$ 中元素均整数，舍去；若 $a^2=a$，则 $a=0$ 或 $1$，$a=1$ 时 $A$ 中元素重复，舍去，故 $a=0$）
- A （$M$ 是偶数集，$N$ 是奇数集,并集为整数集）
- A （补集为属于全集 $U$ 但不属于 $A$ 的元素）
填空题7. $\notin$，$\in$ 8. ${(1, 1)}$ （注意解集为有序数对集合） 9. $3$ （$A$ 必须含 $1,2$，且是 ${1,2,3,4}$ 的真子集，故 $A={1,2}$ 或 ${1,2,3}$ 或 ${1,2,4}$） 10. $0$ 或 $1$ （当 $a=0$ 时，方程为 $2x+1=0$，有一解；当 $a \neq 0$ 时，$\Delta = 4-4a=0$，得 $a=1$）
解答题11. (1) 当 $B = \emptyset$ 时，$m+1 > 2m-1$，解得 $m < 2$； 当 $B \neq \emptyset$ 时，有 $\begin{cases} m+1 \le 2m-1 \ m+1 \ge -2 \ 2m-1 \le 5 \end{cases}$，解得 $2 \le m \le 3$。 综上，$m \le 3$。 (2) 若 $A \subseteq B$，则 $\begin{cases} m+1 \le -2 \ 2m-1 \ge 5 \end{cases}$，解得 $m \le -3$ 且 $m \ge 3$，无解，故 $m$ 的取值范围为空集。
(1) $A \cup B = {x | -3 < x < 3}$ (2) $A \cap B = {x | -1 \le x \le 2}$ (3) $\complement_U A = {x | x \le -3 \text{ 或 } x > 2}$ (4) $(\complement_U A) \cap B = {x | 2 < x < 3}$
解：$A = {1, 2}$。 由 $A \cup B = A$ 得 $B \subseteq A$。 方程 $x^2 - ax + (a-1) = 0$ 可化为 $(x-1)[x-(a-1)]=0$，解得 $x_1=1, x_2=a-1$。 当 $B={1}$ 时，$a-1=1$，即 $a=2$； 当 $B={2}$ 时，$a-1=2$，即 $a=3$； 当 $B={1,2}$ 时，$a-1=2$，即 $a=3$（$x_1=1, x_2=2$）。 故 $a=2$ 或 $a=3$。
由 $A \cap C = C$ 得 $C \subseteq A$。 方程 $x^2 - mx + 2 = 0$， 若 $C=\emptyset$，则 $\Delta = m^2 - 8 < 0$，即 $-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$； 若 $C={1}$，则 $\begin{cases} \Delta = 0 \ 1-m+2=0 \end{cases}$，无解； 若 $C={2}$，则 $\begin{cases} \Delta = 0 \ 4-2m+2=0 \end{cases}$，无解； 若 $C={1,2}$，则 $\begin{cases} 1+2=m \ 1 \times 2 = 2 \end{cases}$，得 $m=3$。 综上，$m$ 的取值范围为 ${m | -2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2} \text{ 或 } m=3}$。
解：$A = {-4, 0}$。 (1) 由 $A \cap B = B$ 得 $B \subseteq A$。 当 $B=\emptyset$ 时，$\Delta = 4(a+1)^2 - 4(a^2-1) = 8a+8 < 0$，得 $a < -1$。 当 $B={-4}$ 时，需满足 $\begin{cases} \Delta = 0 \ (-4)^2 + 2(a+1)(-4) + a^2 - 1 = 0 \end{cases}$，解得 $a=1$，但此时 $\Delta=16>0$，矛盾。 当 $B={0}$ 时，需满足 $\begin{cases} \Delta = 0 \ 0 + 0 + a^2 - 1 = 0 \end{cases}$，解得 $a=-1$（此时方程 $x^2=0$，解为 $0$）。 当 $B={-4, 0}$ 时，由韦达定理 $\begin{cases} -4+0 = -2(a+1) \ (-4)\times 0 = a^2-1 \end{cases}$，解得 $a=1$。 综上，$a \le -1$ 或 $a=1$。 (2) 由 $A \cup B = B$ 得 $A \subseteq B$，即 $-4, 0 \in B$。 代入方程：$\begin{cases} 16 - 8(a+1) + a^2 - 1 = 0 \ 0 + 0 + a^2 - 1 = 0 \end{cases}$ 由 $a^2-1=0$ 得 $a=\pm 1$，代入第一式检验：$a=1$ 时，$16-16+0=0$ 成立；$a=-1$ 时，$16-0+0=16 \neq 0$，故 $a=1$。